§7-9 有电介质时的高斯定理 电位移
E 满足高斯定理：
q q E dS
' q i
一.D 的高斯定理 有介质时，自由电荷和束缚电荷共同产生电场 E E0 E

S
i0
q i
可以证明： P d S

S
0
0
S 定义： D E P 0
R r R
E0 q D1 E1 2 r 0 r 4 0 r r q D2 E2 2 E0 0 r 4 0r
r
q
I
II
R
r


a
E dl a Edr
R
r
U1 E1dr E2dr

r
高斯面
q 1 1 q q q dr dr 2 2 R 4 r 40 r r R 40 R 40 r r 0

r o

0 S[2b r ( r 1)t ] 2 2 C C左 C右 1 电容并联相加： b 2b[b r ( r 1)t ] b r t r
例 .一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S，在其间 平行地插入一厚度为t，相对介电常数为r，面积为S/2 的均匀介质板。设极板带电Q，忽略边缘效应。 求(1)该电容器的电容C(2)两极板间的电势差U。 解：（1）等效两电容的并联 S S2 o r b t 左半部：C 2 左 r 1 b t oS S r C o r 1 右半部： C 2 b t 右 b r S S
l

S
D dS

S1
D dS
D 2rl
l
S S1

D dS
D

E 2 r
R2 R1
• 两极板间的电势差 U

R2 dr ln 2 r 2 R1
• 根据电容定义式计算电容
Q C U
R2 ln 2 R1
o o
（2） U Q 2b r b r 1t Q C o S2 r b r 1t
问： Q左？ =Q右
例 . 平板电容器极板面积为S间距为d,接在电池上维持V 。 均匀介质r 厚度d，插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1、2两区域的 E 和 D ；(2)介质内的极化强度 P， 表面的极化电荷密度 ' ；(3)1、2两区域极板上自由 2。 电荷面密度 1 ， 解：（1）V E1d E2d
V D1 o r E1 o r d oV D2 o E2 d
E1 E2 V d
r 1
S 2
S
2
d
V
为什么E1介 E2真？ 反而D1 D2了？
E1 , E2 , D1 , D2的方向均
关键：1 2！
(2) 介质内的极化强度 P ，表面的极化电荷密度' P e o E1 o ( r 1)V d 1 S 2 方向： V r 1 2 d P cos
球面上各点D大小相等， D // dS , 2 q 0 D4r q0 , D 4r 2 q I区：D1 2 4r q II区：D2 4r 2

S

0
r
q
r r

I II
高斯面
由
D 0 r E
q D1 4r 2
q D2 2 4r
由 Ua
r 1 q0 q0 q 0 r r
总电荷量减小到自由电荷量的1/εr倍，这是离球 心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。
d1
+ + + + + A S
r D2
0
ε
D1
S D dS 0 D S 0 d2 1 1 S D1 E1 / 0 D S D dS 0 D S 0 2 2 2 B S d2 U A U B A E dl d 1 0 0 r S 0S C d2 d1 d2 d1 0 0 r r
(
0
E P ) dS qi 0
称电位移矢量
则：
D dS q
S
0
D dS q
S
0
D 的高斯定理： 通过任意闭合曲面的电位移通量
等于面内包围的自由电荷代数和 讨论
1、电位移线： 规定：1）线上各点切线方向与D方向相同
2）通过任意单位垂直面元的电位移线条数 d d 等于该点电位移矢量的大小
C
B
S
E2 0 r
σ
例 . 一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S， 其中置一厚度为t 的平板均匀电介质，其相对 介电常数为r, 求该电容器的电容C。 q 解：根据定义 C U r b 设极板面密度为、- t 由高斯定理可得： 空气隙中 D E1 o 介质中 D
+ + + + + + +



+ + +
D线
电场线起于正电荷、止于 负电荷，包括自由电荷和 极化电荷。
电位移线起于正的自由电 荷，止于负的自由电荷。 电极化强度矢量线起于负的 极化电荷，止于正的极化电 荷。只在电介质内部出现。
+ + + + + + +


D
起自正自由电荷（或无穷远）， 特点： 终止于负自由电荷（或无穷远）， 在无自由电 荷处不会中断（无自由电荷处电位移矢量连续）
dS
从有电介质时的高斯定理可知：通过电介质中任一 闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代 数和。
+ + + + + + &##43; +
E线
电极化强度 质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布 在与金属交界处的电介质表面上（另一电介质表 面在无限远处），其电荷面密度为
P 与 r 有关，是非均匀极化。在电介
P er
q0 r 1 4R 2 r
因为εr >1，上式说明σ’恒与q0反号，在交界 面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为
D Q Q E D S S Q 两极板间的电势差 U E d d S
Q C U

S
d

0 r S
d
例. 圆柱形电容器的电容 已知:圆柱形电容器 R1，R2，
求: 其电容.
ε
r
S1
A
B L
解:
•
设两极板面电荷线密度 分别为 +，- 做如图高斯面

+ + +
P线
二.D与E 的关系 D 0E P 在各向同性、均匀的电介质中 P e 0 E ( r 1) 0 E
令：
0 r
D 0 r E
即： D 与 E 成正比且方向相同
D E
称为介质的介电常数
真空中： D 0 E
束缚电荷产生的场： 0 3.介质中高斯定理的应用
S
1 D E ( D P ) 自由电荷产生的场： 0 0 P
介质中真实的场：E
D dS q
0
有电介质存在时的高斯定理的应用 （1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 求出电位移矢量。
P cos 180 P 上 o (1 r )V 0 d P cos 0 P o ( r 1)V 0 下 d (3) 1、2两区域极板上自由电荷面密度1、2 1 1 V E1 1 o r o r d
S1 S2 上底
0 0
r
S
S D d S D d S D d S D d
S
由高斯定理：
D 底 0 S 内 S
D 0
0 E 0 r
D
S3
下底 底
D 内 S 底
例2 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d 相对介电常数为r ，内部均匀分布体电荷密度为 0 的自由电荷 求：介质板内、外的 DEP 解： 面对称 取坐标系如图
D 0d E 0 2 0 均匀场
2DS0 0 2 x S0 D 0 x 0 x D E 0 r 0 r
0
S
r
0x
x
x
2
P 0 r 1E 0
例3：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介 质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。 解：在介质球内、外各作半径为 r 的 高斯球面。 R D dS q

r
P
R
Q0
S
D d S D 4 r q 0
2 S
q0 D 所以 2 4r q0 写成矢量式为 D e 2 r 4r 因 D E , 所以离球心r 处P点的场强为
E D


4 r
q0
2
er
4 0 r r
q0
2
er
E0
r
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介 质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍, 可求出电极化强 度为 q0 q0 q0 r 1 P e 0 e er 2 r 2 r 2 4r 40 r r 4r r