, x [xi , xi1]
则称y L(x)为[a,b]上的分段线性插值。
分段线性插值
••• •
• •
x0
xj-1 xj xj+1 xn
1.1.3 三次样条插值
• 分段线性插值函数在结点的一阶导数一般 不存在，光滑性不高，这就导致了样条插 值的提出。
• 在机械制造、航海、航空工业中，经常要 解决下列问题：已知一些数据点，如何通 过这些数据点做一条比较光滑（如二阶导 数连续）的曲线呢？
Theorem：满足插值条件的次数不超过n的多项式 是唯一存在的。
yy11
• •
yy00 •
x x x00 11
• •
xxnn
两点一次(线性)插值多项式:
L1x
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三点二次(抛物)插值多项式:
L2 x
x x0
x1 x1
x x2 x0 x2
三次样条插值问题提出
• 设在区间[a,b]上，已给n+1个互不相同的节点 • 的列a=值 条x0f件<(xx：i1)<=…yi,<i=x0n=,1b,…以,及n.如函果数分y =段f(函x)数在S这(x些)满节足点下 • （数1为）3的S(多x)在项子式区；间[xi,xi+1]的表达式Si(x)都是次 • （2）S(xi) = yi; • （3） S(x)在区间[a,b]上有连续的二阶导数。 • 就值称 函S数(x.)为f(x)在点x0，x1，…，xn的三次样条插
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
• 绘图员解决这一问题是首先把数据点描绘在 平面上，再把一根富有弹性的细直条（称为 样条）弯曲，使其一边通过这些数据点，用 压铁固定细直条的形状，沿样条边沿绘出一 条光滑的曲线，往往要用几根样条，分段完 成上述工作，这时，应当让连接点也保持光 滑。对绘图员用样条画出的曲线，进行数学 模拟，这样就导出了样条函数的概念。
x12 f (x) 0.95 0.82
写出 f(x) 的线性插值函数 , 并求 f(1.5) 的近似值。
解： x0 1, y0 0.95 ; x1 2, y1 0.82
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
x x0 x1 x0
x 1 2 1
内容提纲
• 1、插值问题 • 2、数据拟合
1、插值问题
1.1、一维插值
插值问题的一般提法：已知y = f(x)（该函数未知）
在互异的n+1个点x0,x1,x2,…,xn处的函数值y0, y1,y2,…, yn,构造一个过n+1个点（xk,yk） k=0,1,2,…,n的次数 不超过n的多项式 y = Ln(x)，（称为插值多项式） 使其满足Ln(xk) = yk ，（称为插值条件） 然后用y = Ln(x)作为准确函数y = f(x)的近似值。此方 法称为插值法。
三次样条插值问题分析
• 即 Si(x)=aix3+bix2+cix+di i=0,1,…,n xi≤x ≤xi+1 （4n个变量） • 需要4n个方程
• S(xi) = yi i=0,1,…,n
(n+1个方程）
• S(xi-0)= S(xi+0) i=1,…,n-1
在xi连续 (n-1个方程）
• S/(xi-0)= S/(xi+0) i=1,…,n-1
分段线性插值
• 设插值节点x0 x1 xn , xi [a,b] , yi f (xi )为已知。
• 若y L(x)满足：
(1)L(xi ) yi
(2)在每个子段[xi , xi1]上y Li (x)是线性函数
•
Li (x)
x xi1 x xi
yi
x xi x xi1
yi1
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
1.1.1 Lagrange插值法
上式称为Lagrange插值基函数
n
则Ln ( x) yili ( x) i0
就是满足插值条件的n次多项式 ——Lagrange插值多项式
例1、已知数据表
数学建模方法——插值与拟合
•
插值与拟合的关系
• 在工程中，常有这样的问题：给定一批数据 点（它可以是设计师给定，也可能是从测量与 采样中得到），需确定满足特定要求的曲线或 曲面。对这个问题有两种方法。
一种是插值法。要求所求曲线（面）通过所给的所 有数据点。
另一种方法是数据拟合（曲线拟合与曲面拟合）。 人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据， 但不必要经过所有数据点。
在xi连续(n-1个方程）
• S//(xi-0)= S//(xi+0) i=1,…,n-1
在xi连续(n-1个方程）
• 再为加边两界个条条件件。:可在边界点x0与xn处给出导数的约束条件，称
1.1.2 分段插值法
• 图中看到，随着节点的增加，Lagrange插值函数次 数越高，插值函数在两端容易产生龙格现象，为了 改进高次插值的缺陷，就产生了分段插值。
• 分段插值基本思想：将被插函数逐段多项式化。
• 处理过程：将区间[a,b ]划分：a x0 xn b
• 在每个子段[xi , xi1]上构造低次多项式，然后将其拼 接在一起作为整个区间[a,b ]上的插值函数，这样构 造出的插值函数称为分段多项式，改进了多项式插 值整体性太强的缺点，可以进行局部调整而不会影 响整体。
x 1
L1(x) y0l0 (x) y1l1(x) 0.95(2 x) 0.82(x 1) 0.13x 1.08
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 数也会升高，可能造成插值函数的收敛性和 稳定性变差。如龙格（Runge）现象。