3.3 n步转移后系统各状态概率 步转移后系统各状态概率
例：求如图所示系统的平稳状态概率。
3.3 n步转移后系统各状态概率 步转移后系统各状态概率
解：一步转移矩阵为:
设P(n)=[ P0 P1]，则
[P0
]⋅ P1
1 − λ∆t λ∆t = [P0 P1] 1 − µ∆t µ∆t
3.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程定义
马尔可夫过程是一类“后效性”的随机过程。 简单地说，在这种过程中系统将来的状态只与现 在的状态有关，而与过去的状态无关。或者说， 若已知系统在t0时刻所处的状态，那么t> t0时的状 态仅与时刻t0的状态有关。
3.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程的数学描述
设{x(t),t≥0}是取值在E={0,1,2,…}或E={0,1,2,…,N}上的一 个随机过程。若对任意n个时刻点0≤t1<t2<…<tn 均有: P{x(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,…,x(tn-1)=in-1} =P{x(tn)=in|x(tn-1)=in-1} i1,i2,…,in∈E
3.3 n步转移后系统各状态概率 步转移后系统各状态概率
设平稳状态概率为P(n)=[ P1, P2…Pn], P为一步 转移概率矩阵，则求平稳状态概率，只需求解以 下方程： 或写成：
P (n) ⋅ P = P (n)
P12 ⋯ P1n P22 ⋯ P2n = [P1 P2 ⋯ Pn] ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Pnn Pn2
P ( 3 ) = [0 . 445
0 . 555
]
P(5) = [0.44445 0.55555]
由此可知，随着n的递增，P1(n)、 P2(n)逐渐趋于稳定。稳定状态 概率称为极限概率。
3.3 n步转移后系统各状态概率 步转移后系统各状态概率
本例n→∞时的极限概率为P1(∞)=4/9, P2(∞)=5/9,即n→∞时， n 将收敛于一个定概率矩阵，即(本例为)： P
3.2 状态转移图
由此可写出系统的转移矩阵为:
转移矩阵Pij也表示时间ei 发生的条件下，时间ej发生的 条件概率：Pij=P(ei|ej) ； 矩阵 P:列是起始状态，有小到大；行是到达状态，由 小到大排列，建立P时应与转移图联系起来。
3.2 状态转移图
例2
对于一可修系统，失效率和修复率为λ、µ为 常数，试画出状态转移图： e1——正常； e2——故障。
第三章
可修复系统的可靠性
孙有朝 南航大民航学院 2004年12月13日 年 月 日
第三章 可修复系统的可靠性
3.1 马尔可夫过程 3.2 状态转移图 3.3 n步转移后系统各状态概率 3.4 单部件可修系统 3.5 串联可修系统 3.6 并联可修系统
引言
可修复系统的组成单元发生故障后，经过修理 可以使系统恢复至正常工作状态，如下图所示。 如果工作时间和修复时间都服从指数分布，就可 以借助马尔可夫过程来描述。
—— 此即为 P0 (t + ∆t ) 的计算公式
3.4 单部件可修系统
由上式展开、移项、两边除以 若令 ∆t → 0 取极限有：
∆t
P0 (t + ∆t ) − P0 (t ) lim = −λP0 (t ) + µP (t ) 1 ∆t → 0 ∆t ⇒
P0′(t ) = −λP0 (t ) + µP (t ) 1
3.4 单部件可修系统
下边求解状态方程 对上述(1)、(2)两边取拉氏变换：
L[ P0′(t )] = −λL[ P0 (t )] + µL[ P (t )] 1 1 1 L[ P′(t )] = λL[ P0 (t )] − µL[ P (t )]
b)
c)
3.2 状态转移图
例1
如一台机器，运行到某一时刻t时，可能的状态为： e1－正常； e2－故障。如机器处于e1状态的概率P11=4/5, 则e1向e2转移的概率P12=1－P11=1/5；反过程，如机器处 于e2状态，经过一定时间的修复返回e1 状态的概率是3/5， P21=3/5(维修度M(τ));则修不好仍处于e2状态的概率是 P22=1－P21=2/5.
(1)
3.4 单部件可修系统
同理可得：
P (t + ∆t ) = λ∆tP0 (t ) + (1 − µ∆t ) P (t ) 1 1
P′(t ) = λP0 (t ) − µP (t ) 1 1
(1)、(2)联立即可求出 P0 (t )和P (t ) 1 。 (1)、(2)的联立方程称为状态方程 (2)
[P1
P2
P11 P21 ⋯ Pn] ⋅ ⋯ Pn1
3.3 n步转移后系统各状态概率 步转移后系统各状态概率
展开后得：
n =∑ P j i =1 Pi Pij n ∑Pj =1 j =1
(j=1,2,…n)
n个方程只有n-1个是独立的，因此必须再加另一个独 立方程)。 由此即可求出n个平稳状态概率。
P0 λ − P1 µ = 0 ⇒ P0 + P1 = 1
− P 0 λ + P1 µ = 0 ⇒ P 0 λ − P1 µ = 0
⇒ P0 =
µ λ+µ
P1 =
λ λ+µ
3.4 单部件可修系统
单部件系统是指一个单元组成的系统(或把整个系 统当作一个单元来研究)，部件故障系统故障，部 件正常系统正常。
3.3 n步转移后系统各状态概率 步转移后系统各状态概率
如果转移矩阵P经过n次相乘后，所得矩阵的全部元素 ( 都大于0,即 Pijn ) > 0 (i,j∈E),(注：常以此为判断<来检查> 马尔可夫链是否为各态历经的或是否存在极限概率)，则 这样的转移矩阵都是遍历矩阵。遍历矩阵一定存在极限概 率(或稳定状态)。 经过n步转移后的极限状态，就是过程的平稳状态，既 然如此，即使再多转移一步，状态概率也不会有变化，这 样可以求出平稳状态。
(n)
( = [ Pijn )] ，则
3.3 n步转移后系统各状态概率 步转移后系统各状态概率
一般地，可利用转移概率和系统的初始状态，求 出任意转移后系统各状态的概率。公式如下：
P(n) = P(0) ⋅ P n
式中
P－部转移概率； n P －n步转移概率； n－转移步数(次数)； P(0)－系统初始状态向量， P(0)=[ P1(0), P2(0)…] Pi(0)－初始t=0时刻系统处于i状态的概率 P(n)－n步转移后系统所处状态向量，P(n)=[ P1(n), P2(n),…] Pi(n) －n步转移后刻系统处于i状态的概率
3.3 n步转移后系统各状态概率 步转移后系统各状态概率
例：如下图，已知P(0)=[P1(0), P2(0)]=[1, 0],求n=1,2,…等 各步(次)转移后系统各状态的概率。 图中e1——正常； e2——故障。
3.3 n步转移后系统各状态概率 步转移后系统各状态概率
解：依次求得 n=1, n=2, n=3n=5时的状态矩阵
( ) 上式中，若令k=1,l=1,由 Pij (i, j ∈ E ) 可决定 Pij2， 即由全部一步转移概率可确定全部两步转移概率。 若重复上述方法，就可由全部一步转移概率决定 所有的转移概率。
若用矩阵表示n步转移概率，即 P 有： (n) = P ( n ) = P k Pl P − − − 转移矩阵 P
同理:
条件概率
P = P (∆t ) = P{x(t + ∆t = 0) | x(t ) = 1} = µ∆t 10 10
P = P (∆t ) = P{x(t + ∆t = 1) | x(t ) = 1} = 1 − µ∆t 11 11
3.4 单部件可修系统
上图的转移概率矩阵为:
0 1 λ∆t (= P(∆t )) P = 0 1 − λ∆t µ∆t 1 − µ∆t 1
3.4 单部件可修系统
令
P0 (t ) = P{x(t ) = 0}、P1 (t ) = P{x(t ) = 1}
下面研究如何求解
P0 (t )和P (t ) 1
P0 (t + ∆t ) 和
首先，利用全概率公式可求出 P (t + ∆t ) 的表达式 1
3.4 单部件可修系统
P (t +∆t) = P{x(t +∆t) =0} 0 } } = P{x(t +∆t) = 0| x(t) =0}P{x(t) = 0}+ P{x(t +∆t) = 0| x(t) =1 P{x(t) =1 = P (∆t)⋅ P (t) +P (∆t)⋅ P(t) 00 0 10 1 = (1−λ∆t)P (t) +µ∆tP(t) 0 1
3.1 马尔可夫过程
三条假设
a)
λ，µ为常数(即寿命和维修时间服从指数分布)
b) c)
部件和系统取正常和故障两种状态。 在相当小的∆t内，发生两个或两个以上部件同 时进行状态转移的概率是∆t的高阶无穷小，此 概率可以忽略不计。
3.1 马尔可夫过程
可修复系统的可靠性特征量
a)
瞬态可用度A(t)、不可用度Q(t); 稳态可用度A、不可用度Q； MTBF、MTTFF(首次故障前平均时间)、MTTR(平均 修复时间) 。
10
ห้องสมุดไป่ตู้
3.4 单部件可修系统
单部件可修系统状态转移图
3.4 单部件可修系统
上图中:
P01 = P01 (∆t ) = P{x(t + ∆t = 1) | x(t ) = 0} = λ∆t
P00 = P00 (∆t ) = P{x(t + ∆t = 0) | x(t ) = 0} = 1 − λ∆t