dε
(17-11)
由式(17-11)和式(17-6)可以证明平面变形和轴对称问题的一 些结论.
1) 平面塑性变形时,设z 向没有变形 ,则有 由式(17-11),则得
dε z = , 0
σ z = (σ x + σ y ) 或
σm
1 2
σ 2 = (σ 1 + σ 3 )
1 2
σx +σ y 1 1 1 = (σ x + σ y + σ z ) = (σ x + σ y + ) = (σ x + σ y ) 3 3 2 2
1 3 dε τ xy dεx = [σ x (σ y + σ z )]; ;γ xy = d σ 2 2 σ dε 1 3 dε dε y = [σ y (σ x + σ z )]; ;γ yz = d τ yz σ 2 2 σ dε 1 3 dε dεz = [σ z (σ x + σ y )]; ;γ zx = d d τ zx σ 2 2 σ
由于
′ d ε ij = d ε ij
所以也可以写成比例形式和差比形式:
d γ xy d ε x d ε y d ε z d γ yz d γ zx = = = = = = d λ (17-7) τ xy σ′ σ ′y σ′ τ yz τ zx x z
dεx dεy
σ x σ y
或
=
dεy dεz
将式( ε 将式(17-1) x ,y ) ε
ε , z 分别减去 m ,如 ε
ε′ = ε x εm = x
同理得
1 +ν 1 1 (σ x σ m ) = (σ x σ m ) = σ′ x E 2G 2G
ε′ = x
简记为
1 1 σ ′ ;γ yz = τ yz x 2G 2G 1 1 ε′ = σ ′y;γ zx = τ zx y 2G 2G 1 1 ′ = ′ ;γ xy = εz σz τ xy 2G 2G 1 ′ ′ ε ij = σ ij 2G
(17-14)
式(17-14)也可写成:
1 ′ d σ ij 2G 1 2ν d εm = dσ m E ′ ′ d ε ij = σ ij d λ +
(17-15)
Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论的基本假设是类似的,差别在于 前者考虑了弹性变形而后者未考虑,实质上后者是前者的特殊情况. 增量理论着重指出了塑性应变增量与应力偏量之间的关系,可解释 为它是建立起各瞬时应力与应变的关系,而整个变形过程可以由各瞬时 的变形累积而得. 因此增量理论能表达加载过程的历史对变形的影响,能反映出复杂 加载情况. 上述理论仅适用于加载情况,而卸载情况下需按虎克定律进行计算.
劳斯( 三,普朗特-劳斯(Prandtl-Reuss)理论 普朗特 劳斯 )
Prandtl-Reuss理论是在Levy-Mises理论基础上进一步考虑弹性变形部分 而发展起来的.即总应变增量的分量由弹,塑性两部分组成,即
d ε ij = d ε ij + d ε ij
p
e
塑性应变增量 d ε ij
二,应力-应变速率方程
将式(17-6)两边除以时间,可得
d ε ij dt = dλ ′ σ ij dt
——为等效应变速率.
(17-12) 称为应力-应变速率方程,
式中,
则有
——为应变速率张量,
它同样可以写成比例形式和广义表达式. 式(17-12)由圣文南(B. Saint-Venant)于1870年提出,由于与牛 顿粘性流体公式相似,故又称为圣维南塑性流体方程. 如果不考虑应变速率对材料性能的影响,该式与列维-密塞斯方程是一致的.
4)全量应变主轴与应力主轴不一定重合.
由于塑性应力应变关系与加载路线或加载的历史有关. 因此,离开加载路线来建立应力与全量塑性应变之间的 普遍关系是不可能的,一般只能建立应力与应变增量之 间的关系,仅在简单加载下,才可以建立全量关系. 所谓简单加载,是指在加载过程中各应力分量按同一比例 增加,应力主轴方向固定不变.如图17-2b中,由原点O到
(17-3)
(17-4)
上式表示应变偏张量与应力偏张量成正比, 上式表示应变偏张量与应力偏张量成正比,表明物体形状的改变只是由 应力偏张量引起的. 应力偏张量引起的.
由式( ),广义虎克定律可写成张量形式 由式(17-2)和式(17-3),广义虎克定律可写成张量形式 )和式( ),
′ ε ij = ε ij + δ ij ε m =
(17-1)
式中, 是弹性模量( 式中,E—— 是弹性模量(MPa); ); G——是剪切模量 是剪切模量(MPa). 是剪切模量
ν
——是泊松比 是泊松比; 是泊松比
ν 三个弹性常数E, 三个弹性常数 ,
,G之间有如下关系 之间有如下关系
G=
E 2(1 + ν )
ε ε 将式(17-1)的ε y ,x ,z 将式( )
F点的直线所表示的就是简单加载.
第三节 增量理论
增量理论又称流动理论,是描述材料处于塑性状态 时,应力与应变增量或应变速率之间关系的理论,它 是针对加载过程的每一瞬间的应力状态所确定的该瞬 间的应变增量,这样就撇开加载历史的影响. 密塞斯( 一,列维-密塞斯(Levy-Mises)理论 列维 密塞斯 )
相加整理后得
1 2ν εx +εy z ) E
即
1 2ν εm = σm E
(17-2)
上式表明,弹性变形时其单位体积变化率( 上式表明,弹性变形时其单位体积变化率( 与平均应力
θ = ε x + ε y + ε z = 3ε m
)
σ m 成正比,说明应力球张量使物体产生了弹性体积改变. 成正比,说明应力球张量使物体产生了弹性体积改变.
第二节 塑性应力应变关系
当质点应力超过屈服极限进入塑 性状态时, 性状态时,应力应变关系一般不能一 一对应,而是与加载路线有关. 一对应,而是与加载路线有关.
图17-1 单向拉伸时的应力-应变曲线
如图17-1所示,若是理想塑性材料,则同一 σ s 可以对应任何应变 所示,若是理想塑性材料, 如图 所示 (图中虚线),若是硬化材料,则由 图中虚线),若是硬化材料, ),若是硬化材料 为
2) 若两个正应变增量相等,其对应的应力也相等. 例如在某些轴对称问题中, d ε ρ 由式(17-6)有 因此
= d εθ
,
′ ′ σ ρ = σθ
σ ρ = σθ
特别说明: 特别说明:
1, Levy-Mises方程仅适用于理想刚塑性材料,它只给出了应变增量 与应力偏量之间的关系.由于 d ε = 0 ,因而不能确定应力球张量. m 因此,如果已知应变增量,只能求得应力偏量分量,一般不能求出应 力. 2,如果已知应力分量,因为 σ = σ s 为常数, d ε 是不定值,也只 能求得应变增量各分量之间的比值,而不能直接求出它们的数值.
p
——由Mises理论确定,
弹性应变增量 d ε ij e ——由式(17-5)微分可得
d ε ij =
e
1 1 2ν ′ d σ ij + δ ij d σ m 2G E
(17-13)
所以Prandtl-Reuss方程
d ε ij =
1 1 2ν ′ ′ d σ ij + δ ij d σ m + σ ij d λ 2G E
Levy和Mises分别于1871和1913年建立了理想塑性材料的流动理论, 该理论建立在下面四个假设基础上.
四个假设
1) 材料是理想刚塑性材料,即弹性应变增量
e d ε ij 为零.塑性应变增量
d ε ijp就是总应变增量 d ε ij .
2) 材料符合Mises屈服准则,即
σ =σ s .
3) 每一加载瞬时,应力主轴与应变增量主轴重合. 4) 塑性变形时体积不变,即 d ε1 + d ε 2 + d ε 3 = d ε x + d ε y + d ε z = 0
上式也可以写成比例形式和差比形式,进一步写成广义表达式.
第四节 全量理论
在小变形的简单加载过程中应力主轴保持不变,由于各瞬时应变增 量主轴和应力主轴重合,所以应变主轴也将保持不变.在这种情况下, 对应变增量积分便可得到全量应变. 在这种情况下建立塑性变形的全量应变与应力之间的关系称为全量 理论,亦称为形变理论. 全量理论最早是由汉基(H. Hencky)于1924年提出. 1,如果假定是刚塑性材料,而且不考虑弹性变形,则可用全量应变 代替Mises方程中的应变增量,即
σ y σ z
dεz dεx = dλ = σ z σ x
(17-8)
d ε1 d ε 2 d ε 2 d ε 3 d ε 3 d ε1 = = = dλ σ1 σ 2 σ 2 σ3 σ 3 σ1
(17-9)
经推导得出
3 dε dλ = 2 σ
(17-10)
将式(17-10)代入式(17-7),Levy-Mises方程还可以写成广义表达式:
上式表明,应变莫尔圆与应力莫尔圆几何相似,且成正比. 上式表明,应变莫尔圆与应力莫尔圆几何相似,且成正比.
由以上分析可知,弹性应力应变关系有如下特点: 1) 应力与应变成线性关系. 2) 弹性变形是可逆的,应力应变关系是单值对 应的. 3) 弹性变形时,应力球张量使物体产生体积变 化 ν < 0.5 ,泊松比. 4)应力主轴与应变主轴重合.
E F σ F ,τ F D-I-F F σ F ,τ F
加τ
单向拉伸 纯切时
O O
加载 加载
A B
加载 加载
C
卸载