新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A 版必修第一册11章末复习提升课同角三角函数基本关系式和诱导公式已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）(n ∈Z )．【解】 因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α) ＝－sin α＝32. (2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.(1)同角三角函数基本关系的应用①已知一个三角函数求另外两个：利用平方关系、商式关系直接求解或解方程(组)求解． ②已知正切，求含正弦、余弦的齐次式；(i)齐次式为分式时，分子分母同除以cos α或cos 2α，化成正切后代入．(ii)齐次式为整式时，分母看成1，利用1＝sin 2α＋cos 2α代入，再通过分子分母同除以cos α或cos 2α化切．(2)用诱导公式化简求值的方法①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2k π±α，π±α，π2±α，32π±α(或k ·π2±α，k ∈Z )的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简．②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．1．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3.因为|θ|＜π2，所以θ＝π3.2．已知3sin （π＋α）＋cos （－α）4sin （－α）－cos （9π＋α）＝2，则tan α＝________．解析：由已知得－3sin α＋cos α－4sin α＋cos α＝2，则5sin α＝cos α，所以tan α＝15.答案：153．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x 的值为________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.答案：－75三角函数的图象及变换已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2，周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式．【解】 (1)由题可知T ＝2πω＝π，所以ω＝2.又f (x )min ＝－2， 所以A ＝2.由f (x )的最低点为M ， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1.因为0<φ<π2，所以4π3<4π3＋φ<11π6.所以4π3＋φ＝3π2.所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6――→沿x 轴向右平移π6个单位y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2sin x ，所以g (x )＝2sin x .(1)由图象或部分图象确定解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数 ①A ：由最大值、最小值来确定A . ②ω：通过求周期T 来确定ω. ③φ：利用已知点列方程求出．(2)函数y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)，(A ＞0，ω＞0)x ∈R 图象的两种方法1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以只需把函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位即可得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故选B.3．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6B ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－3π4C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π6D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4解析：选D.由题图知函数的最大值为A ＋2＝3，则A ＝1， 函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5π6－π6＝4π3＝2πω，则ω＝32，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ＋2，则当x ＝5π6时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6×32＋φ＋2＝3， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝1，即5π4＋φ＝π2＋2k π，则φ＝－3π4＋2k π， 因为|φ|<π，所以当k ＝0时，φ＝－3π4，故A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4.三角函数的性质已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【解】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．(1)三角函数的两条性质①周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋B 的形式．(2)求三角函数值域(最值)的方法 ①利用sin x ，cos x 的有界性．②从y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．③换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2。