鄂州市第二中学-上学期高三期中考试高三数学试卷(文科）满分150 命题人：王志勇 审题人:潘内阁 考试时间：11月15日 上午 8:00-10:00一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 若复数为纯虚数，则实数的值为( ) A ． B ． C ． D ．或2.以下有关命题的说法错误的是（ ）A.命题“若02x 3x 2=+-，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则02x 3x 2≠+-”B.“1x =”是“02x 3x 2=+-”的充分不必要条件C. 对于命题R x :p ∈∃，使得01x x 2<++，则R x :p ∈∀⌝，均有01x x 2≥++D. 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题3．已知向量(2,1),10,52,a a b a b b =⋅=+=则等于（ ） A ．5 B ．10 C ．5 D ．254．函数f(x)y =在定义域（3,23-）内的图象如图所示，记f(x)y =的导函数为(x)'f y =，则不等式0)('≤x f 的解集为( )A ． )2,1[]21,23[⋃- B ． []3,2]1,31[⋃-C ．]38,34[]21,1[⋃- D .)3,34[]34,21[]31,23(⋃⋃--5. 已知数列{}n a 为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q >1，若11a b =，20112011a b =，则1006a 与1006b 的大小关系是（ ）A ．10061006a b = B ．10061006a b > C ．10061006a b < D ． 10061006a b ≥6.函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，2(1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1①图象C 关于直线π1211=x 对称;②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数; ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为( ) A.0B.1C.2D.37.已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ． －110B ．－90C ． 90D ．110 8．设,6sin 236cos 21︒-︒=a 22tan131tan 13b ︒=-︒，250cos 1︒-=c 则有( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．a ＞b ＞c D ．a ＞c ＞b9．已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，n ∈*N . 下列命题中真命题是 （ ）A. 若n ∀∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列B. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C. 若n ∀∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列10．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14(ih i )＝2Sk.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则∑i ＝14(ih i )＝()A.4V KB.3V KC.2V KD.V K二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．已知n ∈{－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－15)n ，则n ＝_________12. 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为13．若正数满足,则的最大值为 。

14．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有四个零点，则实数k 的取值范围是_______ 15．具有性质：)()1(x f xf -=的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①x 1x -=y ；②x 1x y +=； ③y= )1(1)1(,0)10(,>-=<<x xx x x ④ln (0)y x x =>中满足“倒负”变换的函数序号是三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos2B ＝-725. (1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．18.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝3－b n . ①求数列{a n }和{b n }的通项公式；②设c n ＝14a n ·13b n ，求数列{c n }的前n 项和R n 的表达式．c b ，，a 14=++c b a c b a 2++19.（本小题满分12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10000x －1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？20.（本小题满分13分）设数列{a n }满足a 1＝t ，a 2＝t 2，前n 项和为S n ，且S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0(n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)当12<t <2时，比较2n ＋2－n 与t n ＋t －n 的大小；(3)若12<t <2，b n ＝2a n 1＋a 2n，求证：1b 1＋1b 2＋…＋1b n <2n21．（本小题满分14分）设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0,2)． 证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)；(3)若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求a 的取值范围．鄂州市第二中学-上学期高三期中考试高三数学(文科）答案一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. A2. D3. C4. B5.B6. C7. D8.A9.D 10.B二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11.-1或2 12．4 13.21014. (0，14] 15. ③④三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.……….6分(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；……….8分 ②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；……….10分 ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.………. ……….11分 综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.……….12分 17. 解：(1)∵cos2B ＝725-，且0<B <π，∴sin B ＝45，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.……….6分(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又cosB=35±∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B .12分18. 解： ①由题意得a n ＝S n －S n －1＝4n －4(n ≥2)而n ＝1时a 1＝S 1＝0也符合上式∴a n ＝4n －4(n ∈N ＋) ……….3分 又∵b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ，∴b n b n －1＝12∴{b n }是公比为12的等比数列，而b 1＝T 1＝3－b 1，∴b 1＝32，∴b n ＝32⎝⎛⎭⎫12n －1＝3·⎝⎛⎭⎫12n (n ∈N ＋)．……….6分②C n ＝14a n ·13b n ＝14(4n －4)×13×3⎝⎛⎭⎫12n ＝(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ，∴R n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n ＝⎝⎛⎭⎫122＋2·⎝⎛⎭⎫123＋3·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫123＋2·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －2)⎝⎛⎭⎫12n ＋(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1∴R n ＝1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n . ……….12分 19. 解: (1)当0<x <80(x ∈N )时，L (x )＝500×1000x 10000－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80(x ∈N )时，L (x )＝50×1000x 10000－⎝⎛⎭⎫51x ＋10000x －1450－250＝1200－⎝⎛⎭⎫x ＋10000x ，∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250 (0<x <80，x ∈N *)1200－⎝⎛⎭⎫x ＋10000x (x ≥80，x ∈N *)……………………….6分(2)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950，当x ≥80，x ∈N *时，∵L (x )＝120－⎝⎛⎭⎫x ＋10000x ≤1200－2x ·10000x ＝1200－200＝1000，∴当且仅当x ＝10000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1000>950.综上所述，当x ＝100时L (x )取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．……………………….12分20.解：(1)证明：由S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，得tS n ＋1－tS n ＝S n ＋2－S n ＋1，即a n ＋2＝ta n ＋1，而a 1＝t ，a 2＝t 2，∴数列{a n }是以t 为首项，t 为公比的等比数列， ∴a n ＝t n . ……………………….4分(2)∵(t n ＋t －n )－(2n ＋2－n )＝(t n －2n )[1－(12t )n ]，又12<t <2，∴14<12t<1，则t n －2n <0且1－(12t )n >0，∴(t n －2n )[1－(12t )n ]<0，∴t n ＋t －n <2n ＋2－n.……….8分(3)证明：∵1b n ＝12(t n ＋t －n )，∴2(1b 1＋1b 2＋…＋1b n )<(2＋22＋…2n )＋(2－1＋2－2＋…＋2－n )＝2(2n －1)＋1－2－n＝2n ＋1－(1＋2－n )<2n ＋1－22－n ，∴1b 1＋1b 2＋…＋1b n<2n .13分21.[解析] (1)由f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b ，又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0，故b ＝0，c ＝1.………………………. ………………………3分(2)f (x )＝13x 3－a2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－ax ，由于点(t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，而点(0,2)在切线上，所以2－f (t )＝f ′(t )(－t )，化简得23t 3－a2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a2t 2＋1＝0，下面用反证法证明：假设f ′(x 1)＝f ′(x 2)，由于曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0,2)，则下列等式成立：⎩⎪⎨⎪⎧23x 31－a 2x 21＋1＝0 ①23x 32－a2x 22＋1＝0 ②x 21－ax 1＝x 22－ax 2③由③得x 1＋x 2＝a ，由①－②得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2④ 又x 21＋x 1·x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 2)＝x 21－ax 1＋a 2＝(x 1－a 2)2＋34a 2≥34a 2故由④得，x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f ′(x 1)≠f ′(x 2)． ………………………. ………………………8分(3)由(2)知，过点(0,2)可作y ＝f (x )的三条切线，等价于方程2－f (t )＝f ′(t )(0－t )有三个相异的实根，即等价于方程23t 3－a2t 2＋1＝0有三个相异的实根．设g (t )＝23t 3－a 2t 2＋1，则g ′(t )＝2t 2－at ＝2t (t －a2)由于a >0，故有由g (t )的单调性可知：要使g (t )＝0有三个相异的实根，当且仅当1－a 324<0，即a >233， ∴a 的取值范围是(233，＋∞)．………………………. ………………………14分 (4)。