4.7 大地主题解算
• 4.7.4 高斯平均引数反算公式 • 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
• 4.7.5 白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想: 以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球 面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面 上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面 上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球 面上的计算结果换算到椭球面上。
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4.4 椭球面上的弧长计算
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4.4 椭球面上的弧长计算



如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内 的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个 弧长约为4 0 0 0 8 5 4 9 . 9 9 5 m。即一象限子午线弧 长约为10000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需 按(11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：Δ Ｘ＝Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即为所求的弧长。 当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可 视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度 点的子午圈的曲率半径Mｍ
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4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 垂线偏差改正 以测站A为中心 作出单位半径的 辅助球,u是垂线 偏差，它在子午 圈和卯酉圈上的 分量分别以ξ,η表示， M是地面观测目标m在球 面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)
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4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 标高差改正
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4.6 将地面观测值归算至椭球面
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
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4.3 椭球面上的几种曲率半径

卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短 轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的 旋转轴上。
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
• 主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半 径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这 在微分几何中统称为主曲率半径。
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4.7 大地主题解算
• (1)建立级数展开式:
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
• (3)由大地线微分方程依次求偏导数:
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
注意： 从公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。 但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近 的迭代方法进行公式的计算。 ������ 除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算， 其 计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度可达到 72 0.001”。
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4.6 将地面观测值归算至椭球面
观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线， 而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏 差。 归算的两条基本要求： ①以椭球面的法线为基准； ②将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 • 将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改 正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改 正为三差改正。
3、子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上， 以子午圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标 系。在该坐标系中，P点的位置用L, x, y表示。
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上 以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系; 以椭球 长半径a为半径作辅助圆，延长Ｐ２Ｐ与辅助圆相 交Ｐ１点，则OP１与x轴夹角称为P点的归化纬度 u。
大地测量学基础 BASIS OF GEODESY
建工院测绘工程教研室 戴小军
1
第四章 地球椭球及其数学投影变换
椭球面上的常用坐标系
本
椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算 横轴墨卡托投影、高斯投影
章
知 识
点
兰勃托投影
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4.1地球椭球基本参数及其互相关系
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4.5 大地线 • 大地线的微分方程和克莱劳方程
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4.5 大地线
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4.5 大地线
• 大地线的克莱劳方程
在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径 与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于 常数。式中常数C也叫大地线常数
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4.5 大地线
• 当大地线穿越赤道时
• 当大地线达极小平行圈时
• 由克莱劳方程可以写出
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
• ������ 任意法截弧的曲率半径
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
•任意法截弧的曲率半径的变化规律: ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法 截弧的方位角A有关。 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即 Ｒ０＝Ｍ； 当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝ Ｎ。主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。 当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当A由 90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是 以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
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4.3 椭球面上的几种曲率半径

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4.3 椭球面上的几种曲率半径
卯酉圈曲率半径(N) 卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面 相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧，一为 法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具 有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等 于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。
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4.4 椭球面上的弧长计算
• 由子午弧长求大地纬度
• 平行圈弧长公式
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4.4 椭球面上的弧长计算
• 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
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4.5 大地线
两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线， 在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是 怎样的一条线呢? 它应是大地线。 相对法截线
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2、空间直角坐标系 坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z 轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平 均北极点；X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文 台所决定的子午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面 垂直，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 截面差改正
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4.6 将地面观测值归算至椭球面
将地面观测的长度归算至椭球面 基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认 为它是基线平均高程面上的长度，以Ｓ０表示，现 要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。 • 1.垂线偏差对长度归算的影响
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4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和 大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元 素):
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4.1地球椭球基本参数及其互相关系
• 为简化书写，还常引入以下符号
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
4.2.1 各种坐标系的建立 1、大地坐标系 • 大地经度B 大地纬度L 大地高H
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
4-194
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算 4.7.3 高斯平均引数正算公式
高斯平均引数正算公式推导 的基本思想：
首先把勒让德级数在P１点展 开改在大地线长度中点M展开，以 使级数公式项数减少，收敛快，精 度高；其次，考虑到求定中点M 的复杂性，将M 点用大地线两端 点平均纬度及平均方位角相对应的 m 点来代替，并借助迭代计算便可 顺利地实现大地主题正解。
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• B、u、φ之间的关系 • B和u之间的关系
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• U、φ之间的关系
• Ｂ、φ之间的关系
• 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小， 经过计算，当B=45°时
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的 交线叫法截线。
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 5、大地极坐标系 M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为 连接MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。 以M为极点； MN为极轴； P点极坐标为（S, A)
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 4.2.2 坐标系之间的相互关系 • 子午平面坐标系同大地坐标系的关系
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
• 平均曲率半径
椭球面上任意一点的平均曲率半径R 等于该点 子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均 值
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4.3 椭球面上的几种曲率半径 • M，N，R的关系
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
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4.4 椭球面上的弧长计算
• 子午线弧长计算公式