2019-2020学年北京二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<−1}，B={y|y<1}，则A∪B=()A. ⌀B. {x|−1<x<1}C. {x|x<−1}D. {x|x<1}2.下列函数是奇函数的是()A. B.C. D. y=e x+e−x3.已知集合A={x|x2−5x+4<0,x∈Z}，B={m,2}，若A⊆B，则m=()A. 1B. 2C. 3D. 54.若函数g(x)=f(x)+x3是偶函数且f(−1)=2，则f(1)=()A. 0B. 1C. 2D. 35.已知集合A={0,1,2}，B={−1,2,0,5}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,2}C. {0,−1}D. {0}6.设全集U=R，集合A={x|−1<x<1}，B={x|x(x−2)<0}，则A∩(C U B)=()A. {x|−1<x≤0}B. {x|1<x<2}C. {x|0<x<1}D. {x|0≤x<1}7.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(−∞,0]上是减函数，若f(a)>f(2)，则实数a的取值范围是()A. a≤2B. a<−2或a>2C. a≥−2D. −2≤a≤28.定义：区间[a,b]，(a,b]，(a,b)，[a,b)的长度均为b−a，若不等式1x−1+2x−2≥m(m≠0)的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则()A. 当m>0时，l=√m2+2m+9mB. 当m>0时，l=3mC. 当m<0时，l=−√m2+2m+9mD. 当m<0时，l=−3m9.函数y=|a|x−1|a|(a≠0且a≠1)的图像可能是()A. B. C. D.10. 下列函数f (x )中，满足对任意x 1,x 2∈(0,+∞)，当x 1<x2时都有f (x 1)>f (x 2)的是( )A. f (x )=1xB. f (x )=(x −1)2C. f (x )=e xD. f (x )=ln (x +1)11. 在交通工程学中，常作如下定义： 交通流量Q(辆/小时)：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V(千米/小时)：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K(辆/千米)：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V 和K 满足一个线性关系，即V =v 0(1−Kk 0)(其中v 0，k 0是正数)，则以下说法正确的是( )A. 随着车流密度增大，车流速度增大B. 随着车流密度增大，交通流量增大C. 随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D. 随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小12. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f (1+x)=f (1−x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=−x +1，设函数g(x)=e −|x−1|(−1<x <3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 已知函数g (x )=x 2−2x (x ∈[2,4])，则g (x )的最小值_______14. 已知函数f (x )={2x ,x ≤0−x 2+1 ,x >0，若f (a )=12，则实数a 的值为___________． 15.______ ． 16. 若函数f(x)=x (2x+1)(x−a)为奇函数，则a =_________．17. 函数f(x)=x 2+2x −3,x ∈[1,3]的值域为_____________．18. 设x ∈R ，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f[f(x)−e x ]=e +1成立，则f(2)的值为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19.已知集合A={x|x2−2x−3<−3(x−1)}，B={x|0<9−x2<6−2x}，求A∩B．20.已知函数f(x)=a⋅4x−a⋅2x+1+1−b,(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1(1)求a,b的值；(2)若使关于x的方程f(x)−k⋅4x=0在x∈[−1,1]上有解，求实数k的取值范围．21.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(0,1)，对称轴为直线x=1．(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞)，求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)+(1−a)x2+2x在区间[−3,1]上是单调函数，求实数a的取值范围；(3)若函数ℎ(x)=f(x)，且函数ℎ(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．x22.已知集合A={a1,a2,a3,…,a k}(k≥2)，若对于任意的a∈A，总有−a∉A，则称集合A具有性质P.由A中的元素构成一个相应的集合：T={(a,b)|a∈A，b∈A，a−b∈A}，其中(a,b)是有序实数对．检验集合{0,1，2，3}与{−1,2，3}是否具有性质P，并求出其中具有性质P的集合所对应的集合T．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了并集及其运算.利用并集的运算计算得结论．【解答】解：因为集合A={x|x<−1}，B={y|y<1}={x|x<1}，所以A∪B={x|x<1}．故选D.2.答案：C解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，根据奇函数和偶函数的性质进行求解即可．【解答】解：易知选项A为非奇非偶函数，B，D为偶函数，故选C．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查集合的知识，解答本题的关键是知道真子集的计算方法．【解答】解：∵A={x|x2−5x+4<0,x∈Z}={x|1<x<4,x∈Z}={2,3}，又∵B={m,2}，A⊆B，∴m=3，故选C．4.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．由函数g(x)=f(x)+x3是偶函数，则g(−1)=g(1)，又f(−1)=2，可得f(1)．【解答】解：∵g(−1)=f(−1)+(−1)3=f(−1)−1，g(1)=f(1)+13=f(1)+1由函数g(x)=f(x)+x3是偶函数且f(−1)=2，∴g(−1)=g(1)，即f(−1)−1=f(1)+1，∴f(1)=f(−1)−2=0，故选A．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了交集及其运算，元素与集合的关系的应用，解题的关键是熟练掌握交集及其运算，元素与集合的关系的计算，根据已知及交集及其运算，元素与集合的关系的计算，求出A∩B的值．【解答】解：∵A={0,1,2}，B={−1,2,0,5}，∴A∩B=｛0，2｝．故选B．6.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的补集、交集运算．利用一元二次不等式的解法化简集合B，利用补集的定义求出C U B，由交集的定义可得结果．【解答】解：因为B={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2}，所以C U B={x|x≤0或x≥2}，结合集合A={x|−1<x<1}，所以可得A∩(C U B)={x|−1<x≤0}，故选A．7.答案：B解析：【分析】本题考查函数奇偶性以及单调性，属于简单题，由题意得|a|>2，即可求得结果【解答】解：∵y=f(x)是R上的偶函数，且在(−∞,0]上是减函数∴y=f(x)在[0,+∞)是增函数∵f(a)>f(2)，∴|a|>2∴a<−2或a>2故选B8.答案：B解析：【分析】本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．当m>0时，∵1x−1+2x−2≥m⇔mx2−(3+3m)x+2m+4(x−1)(x−2)≤0，令f(x)=mx2−(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，根据韦达定理以及f(1)，f(2)的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得，同理可判断m<0的情况．【解答】解：当m>0时，∵1x−1+2x−2≥m⇔mx2−(3+3m)x+2m+4(x−1)(x−2)≤0，令f(x)=mx2−(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，则m(x−x1)(x−x2)(x−1)(x−2)≤0，且x1+x2=3+3mm=3+3m，∵f(1)=m−3−3m+2m+4=1>0，f(2)=4m−6−6m+2m+4=−2<0，且f(x)图象的对称轴为3+3m2m =32+32m>1，∴1<x1<2<x2，所以不等式的解集为(1,x1]∪(2，x2]，∴l=x1−1+x2−2=x1+x2−3=3+3m −3=3m，当m<0时，结合穿针引线法可知l为无限大，故选：B．解析：【分析】本题考查指数函数图像，基础题;根据指数函数图象特点即可知选D．【解答】解：因为由题意|a|>0，且|a|≠1，只需考虑a>0，且a≠1的情况．函数y=a x−(a>0,a≠1)的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a>1时，函数y=a x−在R上是增函数，且图象过点(−1,0)，故排除A，B，当1>a>0时，函数y=a x−在R上是减函数，且图象过点(−1,0)，故排除C．故选D．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．【解答】解：“对任意x1,x2∈(0,+∞)，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)”说明函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，只有f(x)=1符合题意．x故选A．11.答案：D)(其中v0，k0是正数)，则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量解析：解：因为V=v0(1−K k先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属简单题．12.答案：B解析：本题主要考查了函数图象的性质及函数图象的作法，属中档题．由函数图象的性质得：f(x)的图象关于直线x=1对称且关于y轴对称，函数g(x)=e −|x−1|(−1<x<3)的图象也关于直线x=1对称，由函数图象的作法可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=1对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4，得解．【解答】解：由偶函数f(x)满足(1+x)=f(1−x)可得f(x)的图象关于直线x=1对称且关于y轴对称，函数g(x)=e −|x−1|(−1<x<3)的图象也关于直线x=1对称，函数y=f(x)的图象与函数g(x)=e −|x−1|(−1<x<3)的图象的位置关系如图所示，可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=1对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4．故选B．13.答案：0解析：【分析】本题主要考查二次函数在区间上的最值，考查学生计算能力，属于基础题．解题关键是利用二次函数性质，求出单调区间，即可计算最值．【解答】解：g(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以二次函数对称轴为x=1，开口向上；因为x∈[2,4]，所以g(x)在[2,4]单调递增，所以g(x)的最小值g(2)=0；故答案为0．14.答案：−1或√22解析：【分析】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．【解答】解：当a ≤0时，f(a)=12，即2a =12，解得a =−1，当a >0时，f(a)=12，即−a 2+1=12，解得a =√22， 故答案为−1或√22． 15.答案：lg6+12解析：【分析】利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】 解：原式．故答案为：．16.答案：12解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题.根据函数的奇偶性的定义进行解答即可；【解答】解：函数f(x)的定义域为{x |x ≠−12且x ≠a}．又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a =12．17.答案：[0,12]解析：【分析】本题考查函数的最值，解题的关键是配方，确定函数的单调性，属于中档题．配方可得，f(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4，函数的对称轴为直线x=−1，确定函数在[1,3]单调递增，从而可求函数值域．【解答】解：f(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4的对称轴方程为x=−1，则在[1,3]为增函数，且f(1)=0,f(3)=12，所以函数f(x)=x2+2x−3,x∈[1,3]的值域为[0,12]，故答案为[0,12]．18.答案：e2+1解析：【分析】本题考查函数的解析式的求法，函数的单调性，属于中档题．利用已知条件求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：设t=f(x)−e x，则f(x)=e x+t，则条件f[f(x)−e x]=e+1等价为f(t)=e+1，令x=t，则f(t)=e t+t=e+1，∵函数f(x)为单调递增函数，则t=1是e t+t=e+1的唯一解，代入f(x)=e x+t，得f(x)=e x+1，即f(2)=e2+1．故答案为：e2+1．19.答案：解：∵x2−2x−3<−3(x−1)，解得−3<x<2，∴A={x|−3<x<2}．由0<9−x2<6−2x，解得−3<x<−1，∴B={x|−3<−1}，∴A∩B=(−3,−1)．解析：解一元二次不等式，求得A和B，利用两个集合的交集的定义，求出A∩B．本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．20.答案：解：(1)设t=2x，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]；函数f(x)=a⋅4x−a⋅2x+1+1−b，(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1即g(t)=at2−2at+1−b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)；g(t)=at2−2at+1−b开口向上，对称轴方程为t=1，则g(t)在[2,4]上单调递增；g(2)=4a−4a+1−b=1，g(4)=16a−8a+1−b=9；所以a=1，b=0；(2)方程f(x)−k⋅4x=0在x∈[−1,1]上有解；即4x−2x+1+1=k⋅4x在x∈[−1,1]上有解；∴k=14x −22x+1在x∈[−1,1]上有解；设ℎ(x)=14x −22x+1，令12x=m∈[12,2]；所以y=m2−2m+1=(m−1)2，(m∈[12,2])；则0≤m2−2m+1≤1；所以ℎ(x)∈[0,1]；故实数k的取值范围[0,1]；解析：(1)设t=2x，g(t)=at2−2at+1−b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)，求二次函数在闭区间上的最值问题；(2)分离参数得k=14x −22x+1在x∈[−1,1]上有解；即求函数ℎ(x)=14x−22x+1在[−1,1]上的值域；本题考查二次型函数的值域问题，考查换元思想，分离参数的思想，属于中档题．21.答案：解：(1)因为f(x)的图象经过点(0,1)，对称轴为直线x=1．所以c=1，−b2a=1，即b=−2a，所以f(x)=ax2−2ax+1，又f(x)的值域为[0,+∞)所以(−2a)2−4a=0，解得a=1或a=0(舍去)．所求函数f(x)的解析式为f(x)=x2−2x+1．(2)函数g(x)=f(x)+(1−a)x2+2x，由(1)得f(x)=ax2−2ax+1，所以g(x)=x2+2(1−a)x+1，因为函数g(x)在区间[−3,1]上是单调函数，所以a−1≥1或a−1≤−3，得a≥2或a≤−2，即所求实数a的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞)．(3)由函数ℎ(x)=f(x)x =ax2−2ax+1x=ax+1x−2a，设1≤x1<x2≤2，ℎ(x1)−ℎ(x2)=ax1+1x1−(ax2+1x2)=(x1−x2)(a−1x1x2)，因为1≤x1<x2≤2，函数ℎ(x)在区间[1,2]上是增函数，所以ℎ(x1)−ℎ(x2)<0，所以a−1x1x2>0，即a>1x1x2对一切1≤x1<x2≤2恒成立，，所以a≥1，即所求实数a的取值范围为[1,+∞)．解析：本题考查二次函数及函数的单调性．(1)由已知得c=1，−b2a=1，即b=−2a，然后利用值域为[0,+∞)，得Δ=0，求得a即可求解;(2)利用二次函数的对称轴与区间的关系即可求解;(3)利用单调性的定义即可求解．22.答案：解：对于集合{0,1，2，3}，0∈{0,1，2，3}，−0∈{0,1，2，3}，所以{0,1，2，3}不具有性质P.由题意知{−1,2，3}具有性质P．由−1，2，3可以组成六对有序实数对，分别是(−1,2)，(−1,3)，(2,3)，(2,−1)，(3,−1)，(3,2)．根据集合T的定义一一检验，可知(2,−1)，(2,3)是集合T中的元素，所以与{−1,2，3}对应的集合T 是{(2,−1)，(2,3)}．解析：【分析】利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合T的定义写出T．。