z
h
H
b
与应力分析相关的截面图形几何性质
小鸟
与 应 力 分 析 相 关 的 截 面 图 形 几 何 性 质
平面弯曲时梁横截面上的正应力
1、平面弯曲的概念 梁的对称面：梁的横截面具有 对称轴，所有相 同的对称轴组成 的平面。 形心主轴平面：所有相同的形 心主轴组成的平 面。 平面弯曲：所有外力都作用在梁 的同一主轴平面内， 梁的轴线在该平面中 弯曲成曲线。
第4章
弹性杆件横截面上的 正应力分析
第4章 弹性杆件横截面上的正应力分析
1、与应力分析相关的截面图形几何性质 2、平面弯曲时梁横截面上的正应力 3、斜弯曲时梁横截面上的正应力 4、弯矩与轴力同时作用时杆件横截面上的正应力
5、基于最大正应力的强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
1、横截面面积 常见的横截面有： 矩形—— A = h×b ; 圆形—— A = πR² ; 2、静矩、形心 截面面积对轴的矩称为静矩：S Y
平面弯曲时梁横截面上的正应力
例题4-2 受均布荷载简支梁如图,已知梁的截面为矩形 b=20mm;h=30mm;q=10kN/m;l=450mm.试求最大弯矩截 面B上1、2两点的正应力。
q A l/2 C B l/2 z 1 h/4 b y
2 h
平面弯曲时梁横截面上的正应力
解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置 MZB = q l² / 8; 2、计算正应力 1点的正应力：
max
σmax+
c
σmax ˉ
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 2、计算闭口链环直段部分横截面上最大 应力，受力如图：横截面上只有拉应力。

FN 4 FN 3 .5 7 M P a ; 2 A d
800N
800N 400N 400N
比较两种形式链环的正应力大小相差近 22倍。
ΔA
z
y
σx
x
M y 得正应力公式： z Iz
z
正应力与截面上弯矩、中性轴距离成正比；
与截面的惯性矩成反比。应力分布如图：
平面弯曲时梁横截面上的正应力
d、中性轴在横截面上的位置 中性轴通过横截面的形心，并且垂直于形心主轴。 e、最大正应力公式与弯曲截面模量 对于横截面上正应力最大值
max
c、应用静力方程确定正应力公式 由
y
dA y M
A x
z
（ A
E E ydA ） y

A
y 2 dA M z
z ΔA
y
σx
x
由 E y 2 dA M z A

E
z


Mz Iz
平面弯曲时梁横截面上的正应力
y
E E Mz y 将 带人公式 Iz
96.4
x
位置在梁的上边缘处。
思考：对于脆性材料，极限拉伸应力小于极限压缩应力，
设置上下非对称的横截面并且如此放置，是否最大限 度地发挥了材料的强度潜力？
1
50
σmax +
150
斜弯曲时梁横截面上的正应力
1、产生斜弯曲的加载条件 当梁的外力平面与梁的轴线变形平面不共面时，这种弯曲 称斜弯曲。如图：
800N 800N
21mm
800N
800N
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 解：1、计算开口链环直段部分横截面上
最大应力，受力如图；横截面上弯矩：
800N 800N
M
z
8 0 0 1 5 1 0 3 1 2 ( N m );
800N
Mz
800N
横截面上正应力（如图所示）
M FN W A 32 12 4 800 77.8 MPa; 3 -6 2 -6 12 10 12 10 M FN max W A 32 12 4 800 63.6 MPa; 3 6 2 6 12 10 12 10
Wz

D3
32
(1 4 );
d ; D
平面弯曲时梁横截面上的正应力
f、梁平面弯曲后轴线曲率的计算公式
1


Mz EI z
公式表明梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度 成反比。 3、弯曲正应力公式的应用与推广
max
M z y max Mz Iz Wz
a、梁上最大正应力位置的判定 需要考虑弯矩分布；横截面形状等因素； b、纯弯曲正应力公式可以推广到横向弯曲 纯弯曲正应力公式在横向弯曲也是近似适用的。
1
h/4
b
为压缩正应力
平面弯曲时梁横截面上的正应力
例题4-3 丁字截面简支梁受力如图,已知梁的参数：
FP 32kN; l 2m; 形心坐标 yc 96.4mm ; I z 1.02108 mm4
试求最大弯矩截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
50
A
l/2
FP B
l/2
C
z
200
96.4
3
y
z b
y
h
b、圆形截面的惯性矩
IY I Z
d
4
z
;
y
d
64
C、圆环截面的惯性矩
d Iy Iz (1 4 ); ; 64 D
D 4
z
d
D
与应力分析相关的截面图形几何性质
d、圆形截面的极惯性矩
IP
d 4
32
;
e、圆环截面的极惯性矩
IP
d 4
32
(1 4 );
FP2
z
FP1
变形平面
y
合力作用平面
斜弯曲时梁横截面上的正应力
2、叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力 当梁的受到外力作用在竖直平面和水平面同时弯曲，梁横 截面上的正应力可以应用叠加法确定。如图：
y y
σmax +
C C
z
z
σmax ˉ
My My M M _ 其最大正应力： max z ; max ( z ); Wz Wy Wz Wy
M z y max M z Iz Wz
σmax
σmax
其中 Wz = Iz / ymax 称为弯曲截面系数；
平面弯曲时梁横截面上的正应力
弯曲截面系数: Wz = Iz /ymax ;

*矩形截面的弯曲截面系数:
Wz = b h² /6;

*圆形截面的弯曲截面系数:
*圆环截面的弯曲截面系数
Wz = π d³ / 32 ;
其中轴力和弯矩将使梁横截面产生正应力：

max
FP
Mz Mz
M FN M FN ; max （ ） ; W A W A
FP
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 例4-5 图示开口链环由直径d=12mm的园钢制作而成。 试求： 1）、链环直段部分横截面上最大拉应力和最大压应力； 2）、当链环焊接成闭口状态应力如何？
A
FP
l/2
C B
l/2
Fq
+ x
-
M
Fpl/4 + x
位置在梁的下边缘处 最大压缩正应力：

max M z ymax 16103 96.4 103 6 15 . 12 10 Pa 8 3 4 Iz 1.0210 (10 )
50

y z
200
σmax ˉ
MZ
2、纯弯曲时梁的正应力分析 纯弯曲梁的正应力分析需要三个步骤： 应 应 应 变 平面假定 物性关系 静力方程 力 力 变 公 分 分 形 式 布 布
平面弯曲时梁横截面上的正应力
a、应用平面假设确定应变分布 1） 弯曲梁变形后，梁表面的纵向线弯曲，截面上面缩短、 下面伸长、中间长度未变化。根据外表面线条可以确定横截 面上面受到压应力；下面受到拉应力；而中间没有应力。我
SZ
b h
R
zdA A z ; ydA A y ;
A i Ci A i Ci
图形几何形状的中心称形心：YC
ZC
S Z A S Y A

A
ydA A

A y
i
Ci
Ai
i Ci
; ;
zdA A Z
A
A
Ai
与应力分析相关的截面图形几何性质
3、惯性矩、极惯性矩、惯性半径 惯性矩---IY IZ
y
MAy FA1 z FQ My 2FP!l y MAz z FQ Mz FP2l FA2 FP2
FP1 x x
x
M y max Wy Wy
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
M 6 2 FP1l 6 FP 2l z max 9.98MPa; 2 2 Wz hb bh M z max ) 9.98MPa; Wz
们把中间未伸长的一层称为中性层，中性层与横截面的交线
称为中性轴。
M M
中性轴
平面弯曲时梁横截面上的正应力
2）梁弯曲时的平面假设 梁变形后周边表面的横向线仍然是直 线，且垂直于纵向线。我们假定梁的横截 面在变形前后仍然保持为平面，只是相对 转过一个角度 dθ 。 3）沿梁横截面高度方向正应力表达式：
⊕ ⊕ ⊕
x

_ max
(
M y max
A
A
σmax +
x
⊖ ⊖ ⊖ ⊖ ⊖
Mz
⊖ ⊖
x
My
⊖
B
B