必修五阶段测试一(第一章 解三角形)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2017·江西金溪一中月考)已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么∠A ＝( ) A ．45° B ．90° C ．130°或45° D ．150°或30° 2．在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为( )A.49π3 B ．16π C.47π3D ．15π 3．(2017·黑龙江鸡西期末)已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 4．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B ·sin C ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c, a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，πB.⎝⎛⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎝⎛⎭⎫0，π2 6．(2017·阆中中学质检)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果b cos C ＋c cos B －a sin A ＝0，那么△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725B.2425 C ．－725 D ．±7258．(2017·青海师范大学附属中学月考)在△ABC 中，A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，那么三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1∶3∶2D ．2∶3∶1 9．在△ABC 中，b ＝8, c ＝83， S △ABC ＝163，则∠A 等于( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 10．(2017·莆田六中期末)如图，已知A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得AC ＝50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A ．50 3 mB ．25 3 mC ．25 2 mD ．50 2 m 11．在锐角△ABC 中，B ＝2A ，则ACBC的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(2，2)C ．(0，3)D ．(2，3)12.A ，B 两地相距200 m ，且A 地在B 地的正东方．一人在A 地测得建筑C 在正北方，建筑D 在北偏西60°；在B 地测得建筑C 在北偏东45°，建筑D 在北偏西15°，则两建筑C 和D 之间的距离为( )A ．200 2 mB ．1007 mC ．100 6 mD ．100(3－1)m 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.14．(2017·唐山一中月考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________.15．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．16．已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于_________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝5，AB ＝7，∠BDA ＝60°，∠CBD ＝15°，求BC 的长．18.(12分)(2017·贵州铜仁期中)设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，S 是△ABC 的面积，已知a ＝4，b ＝5，S ＝5 3.(1)求角C ；(2)求c 边的长度．19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＋c 2－a 22＝83S △ABC (其中S △ABC 为△ABC 的面积)．(1)求sin 2B ＋C2＋cos2A ； (2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a .20.(12分)(2017·河北开滦一中期末)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .21．(12分)(2017·山西省朔州期末)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，cos A ＝34，sin B ＝5716，c >4.(1)求b ； (2)求证：C ＝2A .22．(12分)如图所示，一辆汽车从O 点出发，沿海岸一条直线公路以100 km/h 的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O 点南偏东方向距O 点500 km ，且与海岸距离为300 km 的海上M 处有一快艇，与汽车同时发出，要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品送到司机手中，并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与OM 所成的角．答案与解析1．A 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2sin60°3＝22.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°.2．A 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝64＋25－2×8×5×12＝49，∴AC＝7.由正弦定理得AC sin B ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴R ＝AC 2sin B ＝72×32＝733.∴△ABC外接圆的面积S ＝πR 2＝49π3.3．B S △ABC ＝12BC ·CA ·sin C ，∴12×4×3·sin C ＝33， ∴sin C ＝32， 又△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°，故选B. 4．C 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ， sin B ＝b 2R ， sin C ＝c2R(其中R 为△ABC 外接圆半径)，代入sin 2A ＝sin 2B ＋sin B ·sin C ＋sin 2C ，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2＝b 2＋c 2＋bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.又0°<∠A <180°，∴∠A ＝120°.故选C. 5．C 解法一：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵a 2<b 2＋c 2, a >b >c, cos A <a 2＋c 2－a 22bc ＝c 2b <b 2b ＝12，∴cos A >0，且cos A <12. ∴∠A 的范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2，故选C.解法二：∵a >b >c, ∴a 为最长边，∠A >π3.又a 2<b 2＋c 2, ∴∠A <π2. ∴π3<∠A <π2.故选C.6．A b cos C ＋c cos B －a sin A ＝0， ∴sin B cos C ＋sin C cos B －sin 2A ＝0. ∴sin(B ＋C )－sin 2A ＝0.∴sin A －sin 2A ＝0，∴sin A ＝0(舍去)或sin A ＝1，∴A ＝π2.故选A.7．A ∵C ＝2B ，∴sin C ＝sin2B ＝2sin B cos B .又∵8b ＝5c ，c sin C ＝b sin B ，∴c b ＝sin C sin B ＝85.∴cos B ＝sin C 2sin B ＝12×85＝45.∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 8．C a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2，故选C.9．C ∵S △ABC ＝12bc sin A, ∴sin A ＝2S △ABC bc ＝12.∴∠A ＝30°或150°，经检验均满足已知条件，故选C.10．D ∠CBA ＝180°－∠ACB －∠CAB ＝180°－45°－105°＝30°， ∴AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠CBA ，∴AB ＝AC ·sin ∠BCA sin ∠CBA＝50×sin45°sin30°＝50 2 m ．故选D.11．D ∵B ＝2A ，∴AC BC ＝sin B sin A ＝sin2Asin A ＝2cos A ， ∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎨⎧2A ＜π2，π－3A ＜π2，∴π6＜A ＜π4， ∴2＜2cos A ＜3，故选D.12．C 由题可知△BCA 是等腰直角三角形， ∴AB ＝AC ＝200，BC ＝2002， ∠DBC ＝15°＋45°＝60°， ∵∠DAB ＝90°－60°＝30°， ∴∠BDA ＝45°，∴AB sin45°＝DB sin30°.∴DB ＝AB ·sin30°sin45°＝1002，∴DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC ·cos60°＝(1002)2＋(2002)2－2×1002×2002×12＝6×1002，∴DC ＝100 6 m ，故选C.13.2π3解析：由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又b ＋c ＝2a ，∴a ＝5c 7，b ＝3c7.在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴C ＝2π3.14．4解析：b a ＋ab ＝6cos C ，∴b 2＋a 2＝6ab cos C ＝3(a 2＋b 2－c 2)，∴3c 2＝2a 2＋2b 2.tan C tan A ＋tan Ctan B＝tan C ⎝⎛⎭⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin C cos C sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2ab cos C ＝23(a 2＋b 2)16(a 2＋b 2)＝4.15．40 3解析：设另两边分别为8t,5t (t >0)，则由余弦定理得 142＝(8t )2＋(5t )2－2·8t ·5t ·cos60°， ∴t 2＝4, ∴t ＝2.∴S △ABC ＝12×16×10×32＝40 3.16．3＋ 3 解析：由已知得32＝12AB ·BC sin π3，∴AB ·BC ＝2.又AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝AB 2＋BC 2－AB ·BC ＝(AB ＋BC )2－3AB ·BC ＝(AB ＋BC )2－6.又AC ＝3，∴AB ＋BC ＝3.∴AB ＋BC ＋AC ＝3＋ 3.17．解：在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos60°，又AD ＝5，AB ＝7，∴BD 2－5BD －24＝0，解得BD ＝8.在△BCD 中，∠BDC ＝30°，∠BCD ＝135°，由正弦定理得BC ＝BD sin ∠BDC sin ∠BCD ＝8sin30°sin135°＝4 2.18．解：(1)由题知S ＝53，a ＝4，b ＝5. 由S ＝12ab sin C 得，53＝12×4×5sin C ，解得sin C ＝32， 又C 是△ABC 的内角，所以C ＝π3或C ＝2π3.(2)当C ＝π3时，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝16＋25－2×4×5×12＝21，解得c＝21；当C ＝2π3时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3＝16＋25＋2×4×5×12＝61，解得c ＝61.综上得，c 边的长度是21或61.19.解：(1)由已知得2bc cos A 2＝83×12bc sin A ，即3cos A ＝4sin A >0，又∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝35，cos A ＝45.sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1＋cos A 2＋cos2A ＝2cos 2A ＋cos A 2－12＝2×1625＋42×5－12＝5950.(2)由(1)知sin A ＝35，S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝2，∴c ＝5.又∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.20．解：(1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°，∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°cos15°＝2×126＋24＝6－ 2.21.解：(1)∵cos A ＝34，可得sin A ＝1－cos 2A ＝74， ∴由正弦定理可得b ＝a ·sin Bsin A ＝4×571674＝5.(2)证明：∵由(1)可得a ＝4，cos A ＝34，b ＝5，∴由余弦定理可得16＝25＋c 2－2×b ×c ×34，整理可得2c 2－15c ＋18＝0， ∴解得c ＝6或32(c >4，故舍去)，∴由正弦定理可得sin C ＝c sin Aa ＝6×744＝378. 又∵sin2A ＝2sin A cos A ＝2×74×34＝378， ∴可得sin C ＝sin2A ， ∵C ∈(0，π)，2A ∈(0，π)，∴C ＝2A ，或C ＋2A ＝π(A ≠B 故舍去)． ∴C ＝2A ，得证.22．解：如图，设快艇从M 处以v km/h 的速度出发，沿MN 方向航行，t 小时后与汽车相遇．在△MON 中，MO ＝500， ON ＝100t, MN ＝v t .设∠MON ＝α.由题意知sin α＝35，则cos α＝45.由余弦定理知MN 2＝OM 2＋ON 2－2OM ·ON ·cos α，即v 2t 2＝5002＋1002t 2－2×500×100t ·45.v 2＝5002·1t 2－2×500×80·1t ＋1002＝⎝⎛⎭⎫500·1t －802＋3 600. 当1t ＝80500，即t ＝254时， v 2min ＝3 600，即快艇必须至少以60 km/h 的速度行驶．此时MN ＝60×254＝15×25.MQ 是M 到ON 的距离，且MQ ＝300，设∠MNO ＝β， ∴sin β＝30015×25＝45.∴α＋β＝90°， ∴MN 与OM 成直角．∴快艇至少必须以60 km/h 的速度行驶，才能把物品送到司机手中，其行驶方向与OM 成直角．。