l2
et
a(l2 a)
在中固定a，仅对 t求导数得感生电动势
感生

0I0l1 2
ln a
l2 a
8
5. 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形
线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈
中通有电流 I = I0sint 时，求直导线中的感应电动势。
5 5R3 5 5R
4
3.如图所示，在磁感应强度B=7.610-4T 的均匀磁场中，放置一个线 圈。此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成，磁感应强度 的方向与两半圆平面的夹角分别为620和280。若在 4.510-3S 的时间内 磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？
中学: 斜面方向合力为零,导体棒达到下滑的稳定速度(最大速度).
FA

BIl

Bl

R

B2l 2 R
vcos ,
FA cos mg sin
B2l2 vcos2 mg sin
R
v

mg Rs inθ
B2l2cos 2
14
8.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线
PQ


Ek

d
x


Ek
闭合回路。轨道所在的平面与水平面成 角，整个装置放在均匀磁场中，
磁感应强度B的方向为竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的
变化规律；（2）导体棒CD的最大速度vm。
参考：习题16.4
分析：感应电流所受安培力的方向？
B
v B
Idl B
v

如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN外，还受到一
参考：习题16.17
a
解:如果在直导线中通以电流I，在距离为r处产生的
I
磁感应强度为B =0I/2r．在矩形线圈中取一面积
b
元dS=bdr，通过线圈的磁通量为
c
BdS ac 0Ibdr 0Ib ln a c
S
c 2 r 2
c
M12=M21=M
互感系数为 M 0b ln a c I 2 c
R2 4(a R2 (a
x)2 x)2 ]7 / 2

[
R2 4(a R2 (a
x)2 x)2 ]7 /
2
}
在x = 0处d2B/dx2 = 0，得R2 = 4a2，所以2a= R．
x = 0处的场强为
Bk
2
[R2 (R / 2)2 ]3/ 2
k 16 80I
该圆电流在球心O处激发的磁场为
dB

0
2
(x2
y2 y2 )3/2
dI
公式14.19
作业:14.8
dl
球心O处总的磁感强度B为
B


0
/2
0 2

(x2
y2I y2 )3/2

2N R
Rd
由图可知：
x R cos y R sin
y
x
得：
B

/2
0
0NI R
sin2
ln
a
l2 a

I (t)
d dt
ln
a
l2 a

l2

0l1I (t) 2


ln

a
l2 a

vl2 a(a

l2
)

7
d dt

0l1I (t) 2



ln
a
l2 a

vl2 a(a

l2
)

由法拉第电磁感应定律得



d dt
(2)
将式(1)代入式(2)，并令 H B2l 2 cos2
mR
则有 g sin Hv dv 分离变量并两边积分
dt
v
0
dv g sin Hv

0t d t
得 1 ln g sin Hv t
H
gsin
由此得导体在t时刻的速度
v
mgRsin
B2l2 cos2 t
平行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化
率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为
dB l
R2


l
2

B
dt 2
2

R0
L Ek d l
P
Q
证1：取 闭合回路OPQ,由法拉第电磁感
应定律，有


L
Ek
dl

S
B t
6
4. 如图所示，真空中一长直导线通有电流 I(t)=I0et ，式中为t 时间，
I0 、为正常量；另一长为l1、宽为l2的矩形导线框与长直导线平行共
面。设时刻 t 二者相距为a，矩形框正以速率v 向右运动，求此时刻线
框内的感应电动势。
参考：习题16.10
解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通过线
d

0NI
4R
磁感强度B的方向由电流的流向根据右手定则确定。
1
2.（实验中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁
场，其装置简图如图所示，一对完全相同、彼此平行的线圈，它们的半
径均为R，通过的电流均为I，且两线圈中电流的流向相同。）两个共轴
圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆心间距离O1O2
个与下滑速度有关的安培力FA ，这个力是阻碍导体棒下滑的。根据安培
定律，该力的大小为
FA

BIl

Bl

R

B2l 2 R
vcos
(1)
12
FA

BIl

Bl

R

B2l 2 R
vcos
(1)
导体棒沿轨道方向的动力学方程为
mg sin FA cos
ma m dv dt
v
则导线中感应电动势
2RvB
x
负号表示电动势的方向为逆时针，对OP段来说瑞点P的电势较高。
10
解意2处：取建导立体如元图d所l，示则的由坐矢标量系，(v在 B导)体上任
y
v

B
的d指向(v可知B，) d端l点P的电势较高。 vB sin 900 cos d l vB cosR d
公式14.19
一个线圈产生的磁场的曲线是 凸状，两边各有一个拐点．
两个线圈的磁场叠加之后，如 果它们相距太近，其曲线就是 更高的凸状；
如果它们相距太远，其曲线的 中间部分就会下凹，与两边的 峰之间各有一个拐点．
当它们由远而近到最适当的位 置时，两个拐点就会在中间重 合，这时的磁场最均匀，而拐 点处的二阶导数为零．
p
v
B
dl
o

R
x
d vBR-//22 cos d 2RvB
o
解3：连接OP使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的，在任意
时刻，穿过回路的磁通量 BS 常数
p
由法拉第电磁感应定律 d
dt
可知: 0 op直线 po半圆
d
S
l
所以： PQ




d dt
O向P与、径Q向O段垂，直因，为与Edk（l 矢涡量旋点电积场为）0的。方

S
dB dt

dB dt
l 2
R2


l
2
2
15
证2：在r＜R 区域，感生电场强度的大小
Ek

rdB 2dt
B
设PQ上线元dx处，Ek的方向如图所
R
示，则金属杆PQ上的电动势为

2[ R 2
0 IR2
(a x)2 ]3/ 2
方向相同，总场强为B = B1 + B2． 设k = μ0IR2/2，则
B2

2[ R 2
0 IR2
(a x)2 ]3/ 2
B

k{ [
R2
1 (a
x)2 ]3/ 2
[R2
1 (a
x)2 ]3/ 2 }
2
B 0IR2 2(R2 x2 )3/2
= R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场 。
[证明] 一个半径为R的环电流在离圆心为x的
2a
轴线上产生的磁感应强度大小为：
B 0IR2 2(R2 x2 )3/2
公式14.19
设两线圈相距为2a，以O点为原点建立坐标，两
Ix
I
O1
O2
RO
x
R
线圈在x点产生的场强分别为
作业:14.4
B1
解1：如图所示，假想半圆形导线OP在 宽为2R的静止在“[ ”形导轨上滑动，
p
B
两者之间形成一个闭合回路。设顺时针
方向为回路正向，任一时刻端点O或端 点P距“[”形导轨左侧距离为x，
Rv
穿过该闭合回路的磁通量：
o
d 2RB d x 2RvB
dt
dt
由于静止的“[”形导轨上的电动势为零，
框的磁通量(由长直电流所提供)为 d
I (t) I0et