A h 3 2 q , B l 3 qe 1
2
qe
2q
其中qe 是梁的弹性极限荷载, 令 x 0 和 ys h / 2得到
qe
bh2 s
3l 2
• 梁的塑性极限荷载 qp 可令 x 0 和 ys 0 得到
qp
bh2 s
2l 2
这样 qp / qe 1.5
此时, 梁中截面全部进入塑性状态, 上图的深黄色线表示.相 当于在中截面安置一只铰, 称为塑性铰.塑性铰的出现, 梁变 为几何可动的, 使梁丧失了继续承载的能力.
2b 3
ys3 ,
Sp
b
h2 4
ys2
,
Ip
2b
3
h3 8
ys3
将这些代入弯矩表达式得到
M
sb 1
g E
h2 4
1 3
ys2
g 12E
h3 ys
二、梁的横向弯曲
• 注意两点: 第一,忽略挤压应力和剪应力, 纯弯曲的结果基本
上可以用;第二, M , , ys 在纯弯曲时有些梁只与y轴有关, 而横
三、 压杆的塑性失稳
• 塑性失稳问题的提出. 从压杆弹性失稳的Euler临界荷载公式 可以看出,有效长度越短, 压杆随压曲应力就会增加. 因此, 在短 柱情况下有可能压缩应力超过屈服应力以后才会失稳. 这就是 压杆塑性失稳. 这时的临界荷载要低于按弹性计算的临界荷载.
• 根据弹性力学的分析, 压杆弹性失稳的Euler临界荷载为
P
2
l2
EI
(杆两端铰支);
P
4
l2
2
EI
(杆两端固定)
• 对压杆塑性失稳的计算要点. 当压杆进入塑性用塑性模量代 替Euler临界荷载公式中的弹性模量来计算临界荷载固然可以, 但这是临界荷载的下限. 从失稳过程看, 截面的凸侧部分( A2 ) 压缩应力减少而引起卸载, 要服从弹性规率; 而截面的凹侧部 分( A1 )应力增加是加载过程, 要服从塑性规律, 所以失稳过程 截面即不能用塑性模量, 更不能用弹性模量. 我们需要计算折 减模量.
静矩为
式中
Ek
Et I1
EI2 I
称为折减模量, (b) 或称Engesser-Karman模量
• 我们用这个折减模量来代替Euler临界荷载中的弹性模量就
可以得到压杆塑性失稳的临界荷载.
例题4-4 计算矩形截面 b h 的折减模量.
解: 设加载区和卸载区的高度分别为 h1 和 h2 , 即有 h1 h2 h
• 通过上面分析, 我们应该注意 A1 加载区和 A2 卸载区引起的 附加应力和附加应变的情况. 由于平截面假定,压曲时附加应变
为(注意坐标轴的选取): z x /
这样引起的附加应力为
z
y y
A1 : z xEt /
P
A2 : z xE /
• 根据Engesser和Karman的意见,
截面上的应力分布情况( 是梁的中性面到弹塑性分界面的 距离):
梁截面上要 满足的条件
1. 对于理想弹塑性材料 • 截面上的弯矩是
是弹性区对中性轴的惯性矩, 塑性区对中性轴的静矩.
• 弹性区的高度 , 梁的挠度 和梁的曲率半径 . 可以通过梁的弯矩公式来确定.
可以由梁轴的挠度方程来定,即在
处有
可以由挠度和曲率半径的关系得到,即
向弯曲它们还与x轴有关. 截面应力为
x,
y
s
y
ys x
在 y ys x时 在 y ys x时
另外截面应力还要满足下面条件:
h/2 x, yb ydy 0, h/2 x, yyb ydy M
h/2
h/2
例3 分析均布荷载作用下的矩形截面简支梁, 材料为理想弹塑性.
q
• 应力分布与纯弯曲情况
梁屈服前的曲率半径和弯矩的关系
e M Me
• 残余应力
梁在塑性极限以后全部卸载, 则在梁截面内要发生残
余应力.利用卸载定理, 即卸载时的弯矩改变量按弹性
计算应力的改变量 , 然后卸载时的应力
减去这个改变量得到残余应力 *.即 *
%
%
s
由材料力学公式得到
My Ie
h2b 4
s
y
/
例1 如果梁截面是矩形, 高为 ,宽为 , 弯矩和曲率 半径.
• 根据上面的公式求出截面惯性矩,静矩和弯矩.
• 弹性极限弯矩, 将 ys h / 2 代入上式得到 • 塑性极限弯矩,将 ys 0 代入前式得到
Me
bh2 6
s
Mp
bh2 4
s
所以 M p / M e 1.5 • 曲率半径和弯矩的关系. 弹性极限时的曲率半径令其为
A1 A2 x
压杆在压曲时轴力不变, 所以
l
P zdxdy 0
因此得 S1Et S2E 0 (a)
式分中界线S1(和yS)2的是静面矩积.由A此1 和可以A2确对
uz
P
x0
z
定分界线的位置(即确定 x0 ).
凹侧 凸侧
• 另外, 压曲是杆的弯矩为 M z xdxdy Ek I /
第九章 塑性力学简单实例
§9-1 弹塑性弯曲和扭转问题
一、梁的纯弯曲
• 如图所示等截面梁, 横截面y和z两个对称轴, x是梁 的纵轴, 纯弯曲发生在xoy平面内.
b y
M
h/2
M
x
o
z
h/2
y
y
• 基本关系式 按照梁的初等弯曲理论: 平截面和小变形, 并且材料不 可压缩,即 1/ 2 ,它们的应力和应变表示为
相同,只是ys 随x 变化.
• 截面弯矩为
ys 0
x
ys x
M
bh2 s
4
1
4
3
ys
h
x
2
• 它还要等于外荷载引起的弯矩
• 整理得到 ys 与 x 的变化规律
l/ 3 x
l
yl
M x q l2 x2 2
ys2 A2
x2 B2
1
表明弹塑性区的交界线时双曲线. 如图红线所示. A和B为:
1 12
bh3
3y h
s
则残余应力为 * % s 3 s y / h
s
s
1.5 s

1.5 s
0.5 s
s s
0.5 s
2.线性硬化弹塑性材料
s
tg 1g
o tg 1E
s
ys ys
弹性区
s
塑性区
h/2
o
z
h/2
y 塑性区
梁的线性硬化材料的弹塑性性质和梁截面的应力分布如上 图.那么截面弯矩的表达式为
M
s
1 ys
Ie
1
g E
S
p
g Eys
Ip
其中 Ie
2
ys 0
y2b ydy, S p
2
h/ 2
ys yb y dy, I p
2
h/2 y2b y dy
ys
弹性区对中性 轴的惯性矩.
塑性区对中 性轴下静矩.
塑性区对中性 轴的惯性矩.
例2 如果截面为 b h 的矩形, 则
Ie