练习5 三角形的内角和定理和外角性质一、选择题1.（2020-2021·四川·月考试卷）一个等腰三角形的一个角是50∘，它的一腰上的高与底边的夹角是（）A.25∘B.40∘C.25∘或40∘D.不确定【答案】C【解答】解：当底角是50∘时，则它一腰上的高与底边的夹角是90∘−50∘=40∘；(180∘−50∘)=65∘,则它一腰上的高与底边的夹角是90∘−65∘=25∘.故选C．当顶角是50∘时，则它的底角就是122.（2020-2021·安徽·月考试卷）一副直角三角尺叠放在一起可以拼出多种图形，如图①−④，每幅图中所求角度正确的个数有()①∠BFD=15∘；②∠ACD+∠BCE=150∘；③∠BGE=45∘；④∠ACE=30∘.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解答】解：如图①中，∠BFD=∠EDC−∠B=45∘−30∘=15∘，故①正确；如图②中，∠ACD+∠BCE=∠DCE+∠ACE+∠BCE=∠DCE+∠BCA=180∘，故②错误；如图③中，∠BGE=∠B+ 45∘=75∘，故③错误；如图④中，∠ACE=90∘−∠ECD=45∘，故④错误．故选A．3.（2020-2021·甘肃·月考试卷）下列关于三角形的说法错误的是()A.三角形的中线、高、角平分线都是线段B.任意三角形内角和都是180∘C.三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形D.直角三角形两锐角互余【答案】C【解答】解：A，三角形的中线、高、角平分线都是线段，故本选项正确；B，根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180∘，故本选项正确；C，因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项错误；D，直角三角形两锐角互余，故本选项正确.故选C．4.（2020-2021·云南·月考试卷）如图，在△ABC中，∠C=58∘，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为()A.119∘B.120∘C.121∘D.122∘【答案】A【解答】解：∵ 点O为△ABC的内心，∵ AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，∵ ∠BAO=12∠CAB，∠ABO=12∠CBA，∵ ∠AOB=180∘−12(∠CAB+∠CBA).∵ ∠C=58∘，∵ ∠CAB+∠CBA=122∘，∵ ∠AOB=180∘−61∘=119∘.故选A.5.（2020-2021·吉林·月考试卷）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF // BC，∠B=∠EDF= 90∘，∠A=45∘，∠F=60∘，则∠CED的度数是()A.15∘B.20∘C.25∘D.30∘【答案】A【解答】解：∵ ∠B=90∘，∠A=45∘，∵ ∠ACB=45∘．∵ ∠EDF=90∘，∠F=60∘，∵ ∠DEF=30∘．∵ EF // BC，∵ ∠EDC=∠DEF=30∘，∵ ∠CED=∠ACB−∠EDC=45∘−30∘=15∘．故选A.6.（2020-2021·吉林·月考试卷）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DA=DE，DB=BE=EC．若∠ABC=130∘，则∠C的度数为()A.20∘B.22.5∘C.25∘D.30∘【答案】D【解答】解：设∠C=x，因为BE=EC，所以∠EBC=x，则∠DBE=130∘−x.因为DB=BE，所以∠EDB=12(180∘−∠DBE)=12(180∘−130∘+x)=25∘+12x.因为DA=DE，所以∠A=12∠EDB=12.5∘+14x.在△ABC中，12.5∘+14x+x+130∘=180∘，解得x=30∘.故选D．7.（2020-2021·江苏·月考试卷）下列条件能判定△ABC为直角三角形的是()A.∠A+∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=1:2:4C.a=32，b=42，c=52D.a=4，b=5，c=6【答案】A【解答】解：A，∵ ∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，∵ ∠C=90∘，∵ △ABC为直角三角形，故A正确；B，设∠A=x∘，∠B=2x∘，∠C=4x∘，∵ x+2x+4x=180，解得x=1807，则4x=4×1807≠90，∵ △ABC不是直角三角形，故B错误；C，由于(52)2≠(32)2+(42)2，∵ △ABC不是直角三角形，故C错误；D，42+52≠62，∵ △ABC不是直角三角形，故D错误.故选A．二、填空题8.（2020-2021·山东·期中试卷）如图，△ABC绕点A旋转得到△ADE，恰好使点C旋转后落在直线BC上的点E处，已知∠ACB=105∘，∠CAD=10∘，则∠B=________.【答案】55∘【解答】解：∠ACB=∠CAD+∠CFA，且∠CFA=∠DFE，∵ ∠DFE=95∘，∠ACF=75∘.∵ AC=AE，∵ ∠AEB=75∘,∠AFC=∠AEB+∠EAD，∵ ∠EAD=20∘,∠CAB=20∘，∵ ∠EAB=50∘，∵ ∠B=180∘−∠EAB−∠AEB=55∘.故答案为：55∘.9.（2020-2021·广西·月考试卷）如图，直线a // b，∠1=110∘，∠2=55∘，则∠3的度数是________．【答案】55∘【解答】解：如图：∵ ∠5=∠2=55∘，又∵ a // b，∵ ∠4=∠1=110∘．∵ ∠4=∠3+∠5，∵ ∠3=∠4−∠5=110∘−55∘=55∘.故答案为：55∘．10.（2020-2021·河南·期中试卷）如图，在△ABC中，AE=DE=BD，AD=EC，∠ABE=17∘，则∠EBC的度数是________.【答案】56∘【解答】解：∵BD=DE，∴∠DEB=∠ABE=17∘，∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=34∘.∵AE=DE，∴∠A=∠ADE=34∘.∵BD=AE，AD=CE，∴AD+BD=CE+AE，即AB=AC，∴∠ABC=∠C=180∘−∠A2=180∘−34∘2=73∘，∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=73∘−17∘=56∘.故答案为：56∘.11.（2020-2021·安徽·月考试卷）如图，△ABC≅△ADE，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若∠EAB=120∘，∠B=30∘，∠CAD=10∘，则∠CFD=________∘．【答案】95【解答】解：∵ △ABC≅△ADE，∵ ∠BAC=∠DAE=(120∘−10∘)÷2=55∘，∵ ∠ACF=∠BAC+∠B=85∘，∵ ∠CFA=180∘−∠ACF−∠CAD=85∘，∵ ∠CFD=180∘−85∘=95∘.故答案为：95.12.（2020-2021·湖北·期中试卷）如图，直线a // b，∠1=30∘，∠2=40∘，且AD=AC，则∠3的度数是________.【答案】40∘【解答】解：∵ ∠ADC=∠1+∠2=70∘，又∵ AD=AC，∵ ∠DAC=180∘−2∠ADC=40∘.∵ 直线a // b，∵ ∠3=∠DAC=40∘.故答案为：40∘.三、解答题13.（2020-2021·湖北·期中试卷）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=84∘，AB=AD=DC，求∠CAD的度数.【答案】解：∵ AB=AD，∵ ∠B=∠ADB，由∠BAD=84∘，得∠B=180∘−84∘2=48∘=∠ADB.∵ AD=DC，∵ ∠C=∠CAD，∵ ∠CAD=12∠ADB=24∘．14.（2020-2021·江西·月考试卷）如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．(1)若∠ABC=75∘，∠ACB=45∘，求∠D的度数；(2)若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D，∠M，∠N的关系，并说明理由．【答案】解：(1)∵ ∠ACE=∠A+∠ABC，∵ ∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，又∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∵ ∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，∵ ∠A=2(∠DCE−∠DBC)，∠D=∠DCE−∠DBC，∵ ∠A=2∠D，∵ ∠ABC=75∘，∠ACB=45∘，∵ ∠A=60∘，∵ ∠D=30∘.(2)∠D=12(∠M+∠N−180∘).理由：延长BM，CN交于点A，则∠A=∠BMN+∠CNM−180∘，由(1)知，∠D=12∠A，∵ ∠D=12(∠M+∠N−180∘).15.（2020-2021·河北·期中试卷）如图，在△ABC中，D，E是边AC，BC上的点，AE和BD交于点F，已知∠CAE=20∘，∠C=40∘，∠CBD=30∘.(1)求∠AFB的度数；(2)若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数．【答案】解：(1)∵ ∠AEB=∠C+∠CAE=40∘+20∘=60∘，∵ ∠AFB=∠CBD+∠AEB=30∘+60∘=90∘. (2)由(1)可知，∠AFB=90∘，又∠BAF=2∠ABF，∵ 3∠ABF=90∘，∵ ∠ABF=30∘，∵ ∠BAF=2∠ABF=60∘．16.（2020-2021·山西·期中试卷）如图，在△ABC中，直线DF，EF分别垂直平分线段AC和BC，并相交于点F．且DF，EF分别交AB于点M，N，连接CM，CN．(1)若AB=25cm，求△CMN的周长；(2)若∠MCN=40∘，求∠MFN的度数．【答案】解：(1)∵ 点M，N分别在线段AC，BC的垂直平分线上，∵ AM=CM，BN=CN，∵ C△CMN=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=25cm．(2)∵ AM=CM，BN=CN，∵ ∠ACM=∠A，∠BCN=∠B，∵ ∠CMN=∠ACM+∠A=2∠A，∠CNM=∠BCN+∠B=2∠B．∵ ∠MCN=40∘，∠CMN+∠CNM=180∘−∠MCN=140∘，∵ 2∠A+2∠B=140∘，∵ ∠A+∠B=70∘，∵ DM，EN分别垂直平分线段AC和BC，∵ ∠ADM=∠BEN=90∘，∵ ∠DMA=90∘−∠A，∠BNE=90∘−∠B.∵ ∠FMN=∠DMA，∠FNM=∠BNE，∵ ∠MFN=180∘−∠FMN−∠FNM=180∘−∠DMA−∠BNE=180∘−(90∘−∠A)−(90∘−∠B)=∠A+∠B=70∘．。