由牛顿第三定律知，物体对弹簧的最小压力： FN′＝FN＝12mg。 由以上可以得出振幅为 A 时最大回复力为 0.5mg， 所以有 kA＝0.5mg ③， 欲使物体在振动中不离开弹簧，则最大回复力可为 mg， 所以有 kA′＝mg ④， 由③和④两式联立解得 A′＝2A。
[解题反思] 解决此类问题，首先要确定对称点，认识到在 这一对称点时速度大小相等，加速度大小相等，回复力大小相等， 最后根据题目要求来确定所需要的物理量。
3．时间的对称性：系统在通过关于平衡位置对称的两段位 移的时间相等。振动过程中通过任意两点 A、B 的时间间隔与逆 向通过的时间间隔相等。
[典例指津] 如图所示，质量为 m 的物体放在弹簧上，与弹簧一起在竖 直方向上做简谐运动，当振幅为 A 时，物体对弹簧的最大压力 是物重的 1.5 倍，则物体对弹簧的最小压力是多少？要使物体在 振动中不离开弹簧，振幅不能超过多大？
(3)确定振动的周期和频率。振动图象上一个完整的正弦(或 余弦)函数图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。
由下图可知，OD、AE、BF 的时间间隔都等于振动周期，T ＝0.2 s，频率 f＝T1＝5 Hz。
(4)确定各时刻质点的振动方向。例如下图中的 t1 时刻，质 点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在 t3 时刻，质点正向着 平衡位置运动。
[解题反思] 在利用图象解决问题时，首先要明确图象的物 理含义，根据图象的特点做出振动过程；然后分析各物理量的变 化规律，包括大小和方向，利用所提供的信息进行分析问题。
[变式训练] 一质点简谐运动的振动图象如图所示。 (1)该质点振动的振幅是________cm；周期是________s；初 相是________。 (2)写出该质点简谐运动的表达式，并求出当 t＝1 s 时质点的 位移。
势能增加表明摆球正向最大位移方向运动，又要求速度方向 为正，应对应于摆动过程的 E→G 过程，对应图象中的 O→A， 时间范围是 0～0.5 s。
(3)因经过的是同一位置，位移、回复力、加速度大小与方 向均不变，势能也相同，根据简谐运动中机械能守恒，动能也不 变，速率不变，沿不同方向经过时，运动方向相反，所以速度不 同。摆线的张力 F＝mgcosα＋mvl2，可见张力也不变，因此选项 B 正确。
解得 TB＝t0－t0TnATA(n＝0、±1、±2、±3…)。
答案：TB＝t0－t0TnATA(n＝0、±1、±2、±3…)
专题4 单摆周期公式的应用 对于单摆，在摆角很小的情况下，可看作是做简谐运动，其 振动的周期 T＝2π gl ，与振幅、摆球质量无关。运动具有等时 性、周期性，在运动过程中机械能守恒，可在最低点利用牛顿运 动定律和机械能守恒求摆球受到的拉力，也可利用周期公式来测 定当地的重力加速度。
解析：T＝nt ＝3100.0 s＝3.0 s，T＝T21＋T22＝
1 2(2π
1g＋2π
1＋g h)，解得 h＝3.0 m。
答案：3.0 3.0
解析：(1)由质点振动图象可得 A＝8 cm，T＝0.2 s，φ＝π2 (2)ω＝2Tπ＝10π rad/s 质点简谐运动表达式为 x＝8sin(10πt＋π2)cm，当 t＝1 s 时， x＝8 cm。
答案：(1)8
0.2
π 2
(2)8 cm
专题2 简谐运动的对称性及应用 做简谐运动的物体其运动具有“对称性”。“对称性”表现 在以下几个方面。 1．速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有 相等的速率。 2．加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具 有等大、反向的加速度和回复力。
(3)单摆摆动过程中多次通过同一位置时，下列哪些物理量 可能变化( )
A．位移 B．速度 C．加速度 D．动能 E．摆线中的张力
[答案] (1)3 cm 0.5 Hz 1 m 0.5 s 与 1.5 s (2)E、G、E、F 1.5～2 s 0～0.5 s (3)B
[点拨] (1)由图象可直接读出振幅 A＝3 cm，周期 T＝2 s， 频率 f＝T1＝0.5 Hz。由周期公式 T＝2π gl 可算出摆长 l＝g4Tπ22≈1 m。重力势能最大时即摆球摆角最大，也就是振动位移最大时， 有 0.5 s 和 1.5 s 时刻。
[变式训练] 一个做简谐运动的质点在平衡位置 O 点附近振 动，当质点从 O 点向某一侧运动时，经 3 s 第一次过 P 点，再向 前运动，又经 2 s 第二次过 P 点，则该质点再经________的时间 第三次过 P 点。
解析： 若质点沿图中①的方向第一次过 P 点，历时 3 s；由 P 到 B， 再由 B 到 P 共历时 2 s，则由其对称性知，P、B 间往返等时， 各为 1 s，从而可知 T/4＝4 s，周期 T＝16 s。第三次再过 P 点， 设由 P 向左到 A 再返回到 P，历时为一个周期 T 减去 P、B 间往 返的 2 s，则需时 t＝16 s－2 s＝14 s。
(1)现有如下测量工具：A.时钟；B.秒表；C.天平；D.毫米刻 度尺。本实验所需的测量工具有________；
(2)如果实验中所得到的 T2－L 关系图象如图(乙)所示，那么 真正的图象应该是 a、b、c 中的________；
(3)小筒的深度 h＝________m；当地的重力加速度 g＝ ________m/s2。
[典例指津] 如图所示，AB 弧是半径 R＝0.4 m 的光滑竖直圆轨道的一部 分，且 AB≪R，O 是轨道的最低点，O 点离天花板距离为 10 m， 若在 A 点由静止释放一小球 P，同时，在 O 点正上方将球 Q 自 由释放，要保证两球能同时到达 O 点，求球 Q 释放时的高度(令 π2＝10，重力加速度 g＝10 m/s2)。
(5)比较不同时刻质点加速度的大小和方向。例如在下图中， t1 时刻质点位移 x1 为正，则加速度 a1 为负；t2 时刻质点位移 x2 为负，则加速度 a2 为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|。
2．结合图象分析描述简谐运动的物理量的关系，分析的顺 序为：
[典例指津] 如图所示，为一单摆及其振动图象，请回答下 列问题：
(2)图象中 O 点位移为 0，在平衡位置；A 点位移正向最大， 根据题中正方向的规定，应在右侧的 G 点；B 点位移为 0，在平 衡位置；C 点位移负向最大，应对应左侧的 F 点；因此 O、A、 B、C 分别对应单摆中的 E、G、E、F 点。
一个周期内加速度为正且减小的过程是从 F 到 E 的过程， 对应图象中的 C→D。时间范围是 1.5～2 s，本时段同时满足加 速度与速度同向。
第十一章 机械振动
章末复习总结
机械振动 自 由 振 动
机械振动 自 由 振 动
机械振动
专题1 简谐运动的图象 1．图象的用途 (1)可以确定振动物体在任一时刻的位移。如下图中，对应 t1、 t2 时刻的位移分别为 x1＝＋7 cm，x2＝－5 cm。 (2)确定振动的振幅。图中最大位移的值就是振幅，由下图可 以看出振动的振幅是 10 cm。
(3)将 T2＝0，L＝－30 cm， 代入上式可得，h＝30 cm＝0.3 m，将 T2＝1.20 s2，L＝0 代 入上式可得 g＝9.87 m/s2。
[解题反思] 明确利用单摆周期公式来求解重力加速度的 原理是处理单摆类问题的关键。
[变式训练] 正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细 线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的 高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰 好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙 的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第 1 次通过图中的 B 点 开始计时，第 21 次通过 B 点时用 30.0 s；球在最低点 B 时，球 心到窗上沿的距离为 1.0 m，当地重力加速度 g 取 π2(m/s2)；根 据以上数据可得小球运动的周期 T＝________s；房顶到窗上沿 的高度 h＝________m。
(1) 单 摆 的 振 幅 为 ________ ， 频 率 为 ________ ， 摆 长 为 ________，一个周期内重力势能 Ep 最大的时刻为________。
(2)摆球从 E 指向 G 的运动方向为正方向，α 为最大摆角， 则图象中 O、A、B、C 点分别对应单摆中________点。一个周 期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是 ________，势能增加且速度为正的时间范围是________。
[答案]
1 2mg
2A
[点拨] 物体做简谐运动时在最低点物体对弹簧的压力最 大，在最高点时物体对弹簧的压力最小。物体在最高点的加速度 与在最低点时的加速度大小相等，回复力的大小相等。则有：
物体在最低点时：F 回＝1.5mg－mg＝ma ①， 物体在最高点时：F 回＝mg－FN＝ma ②， 由①②两式联立解得 FN＝12mg，
若沿图中②的方向第一次过 P 点，则有 3 s－tOP＝2＋tPO＋tOP＝T′/2，而 tOP＝tPO 由以上两式可解得
tOP＝tPO＝13 s，T′＝136 s 则质点第三次过 P 点历时 t′＝T′－2 s＝130 s 答案：14 s 或130 s
专题3 简谐运动的周期性与多解问题 1．简谐运动最大的特点就是具有周期性，其位移、速度、 加速度、动能、势能等都具有周期性。 2．正是因为简谐运动具有周期性，所以简谐运动在好多情 况下具有多解性，这是由运动的时间与周期关系不确定造成的。
[答案] (1)BD (2)a (3)0.3的下端口到摆球球心之间距
离 L，用到毫米刻度尺，还要测单摆的周期，需使用秒表，所以
测量工具选 B、D。
(2)摆线在筒内部分的长度为 h，由 T＝2π L＋4gπ2h，可知，T2－L 关系图象为 a。
L＋g h得，T2＝4gπ2
[解题反思] 除简谐运动，其它周期性运动，如匀速圆周运 动，也会因周期性带来多解问题。
[变式训练] A、B 两个单摆，第一次同时从平衡位置以相 同速度开始运动，经过时间 t0，它们第二次以相同速度同时通过 平衡位置，已知 A 摆的周期为 TA，求 B 摆的周期 TB。