第六章 二次曲面的一般理论教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 .研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 .教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 .基本概念二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程2 2 2a 11xa 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1)所表示的曲面 .虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号F(x,y,z)F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 442 2 2(x, y,z) a 11x 2a 22y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz1(x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2(x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z2a 11 x 22a 22 y a 33 z2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 443(x, y,z) a 13x a 23 y a 33z 4(x,y,z) a 14 x a 24 y a 34 z即有恒等式成立 : F(x,y,z) xF 1 ( x, y,z) yF 2 (x, y, z) zF 3(x,y,z) F 4(x,y,z)(x,y,z) x 1(x,y,z) y 2(x, y,z) z 3(x,y,z)a 11 a 12 a 13 a 14 二次曲面 F(x,y,z) 的系数矩阵Aa 12a 22a 23a 24a 13 a 23 a 33 a 34a 14a 24 a 34 a 44a 11 a 12 a 13而由 (x, y,z) 的系数矩阵为Aa 12 a 22 a 23a 13a 23a 33二次曲面(1)的矩阵 A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是 F 1 (x, y,z) ，a 11 a 12 a 13a 11 a 12 a 11 a 13a 22 a 231 a 11 a 22 a 33 I 2I 3a 12 a 22 a 23a 12 a 22a 13 a 33a 23 a 33a 13 a 23 a 33a 11 a 12 a 14a 11 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24K 2a 12 a 22 a 24a 13 a 33 a 34 a 23 a 33 a 34a 14a 24a 44a 14a 34a 44a 24a 34a 44§6.1 二次曲面与直线的相关位置2 2 2 F(x, y,z) a 11x a 22 y a 33z 2a 12xy 2a 13xz2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44(1)x x 0 Xt与过点 (x 0, y 0, z 0 )的直线 y y 0 Yt (2)z z 0 Zt将(2)代入(1)得F 2(x,y,z)， F 3(x, y, z) ， F 4(x,y,z) 的系数。

a 11 a 12 a 13 a 14a 12 a 22 a 23 a 24a 13 a 23 a 33 a 34 a 14a 24a 34a 44K 1a 11a 14 a 22a 24 a 33a 34a 14 a 44 a 24 a 44 a 34 a 44(X,Y,Z)t2 2 XF1(x0,y0,z0) YF2(x0,y0,z0) ZF3( x0 , y0 , z0 ) t F (x0, y0 , z0) 0(3)现讨论直线( 2)与二次曲面( 1)相交的各种情况:1. (X,Y,Z) 0 ,这时方程( 3)是一个关于t 的二次方程，它的判别式为：XF1(x0,y0,z0) YF2( x0, y0 ,z0 ) ZF3 ( x0 , y0 , z0 ) 2(X,Y,Z)F(x0,y0,z0)100 ,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点;200 ,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点;300 ,有两共轭虚根,直线与二次曲面有两共轭虚交点2. (X,Y,Z) 010XF1(x0,y0,z0) YF2 ( x0 , y0 , z0) ZF3(x0,y0,z0) 0 ,直线与二次曲面有唯一交点;20XF1 ( x0 , y0,z0) YF2 ( x0 , y0 , z0 ) ZF3 ( x0 , y0 , z0 ) 0,但F (x0 , y0 , z0 ) 0 直线与二次曲面无交点30XF1( x0 , y0 , z0 ) YF2(x0,y0,z0) ZF3(x0,y0,z0) 0,且F(x0, y0) 0 ，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.§6.2 二次曲面的渐进方向与中心1. 二次曲面的渐进方向定义 5.2.1: 满足(X,Y,Z) 0的方向X :Y：Z 称为二次曲面的渐进方向,否则称为非渐进方向.对于给定的二次曲面F(x,y,z) a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz2a23 yz 2a14x 2a24 y 2a34z a44 (1)x x0 Xt和过点(x0, y0, z0 )的直线y y0 Yt (2)z z0 Zt当X : Y ：Z为曲面( 1)的渐进方向时，直线( 2)与曲面(1)总有两个交点；当X :Y :Z 为曲面( 1)的渐进方向时，直线( 2)与( 1)或者只有一个交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。

2. 二次曲面的中心当X :Y:Z 为二次曲面的非渐进方向时, 即当(X,Y) a11X 2 2a12 XY a22Y2 0x x0 Xt以非渐进方向为方向的直线y y0 Yt 与二次曲面交于两个点,由这两点决z z0 Zt 定的线段叫二次曲面的弦.定义 6.2.2 :若点C是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C 是二次曲面的对称中心, 那么点C叫做二次曲面的中心.定理 6.2.1 若点C( x0 , y0 ,z0)是二次曲面的中心,其充要条件是:F1(x0,y0,z0) a11x0 a12y0 a13z0 a14 0F2(x0,y0,z0) a12x0 a23y0 a23z0 a24 0 ( 6.2-1)F3(x0,y0,z0) a13x0 a23y0 a33z0 a34 0推论坐标原点是二次曲面的中心, 其充要条件是曲面的方程不含有x,y,z 的一次项F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 0 二次曲面的中心坐标，由方程组F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 0 ( 6.2-2)F 3(x,y,z) a 13x a 23y a 33z a 34 0解，二次曲面（ 1）有惟一中心。

20 r R 2 ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用一个参数来线性表示。

曲面有 无数个中心，这些中心构成一条直线。

30 r R 1，（ 6.2-2）有无数多解，这些解可用两个参数来线性表示。

曲面有 无数个中心，这些中心构成一个平面。

40r R ，（ 6.2-2）无解，这时二次曲面（ 1）无中心。

定义 6.2.3 : 有唯一中心的二次曲面叫 中心二次曲面 , 没有中心的二次曲面叫 无心二次曲面 , 有无数中心构成一条直线的二次曲面叫 线心二次曲面 , 有无数中 心构成一平面的二次曲面叫 面心二次曲面 , 二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面 心曲面统称为 非中心二次曲面 .推论 二次曲面（ 1）成为中心二次曲面的充要条件为 I 3 0 ，成为非中心二次曲面的充要条件为 I 3 0所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为a 11 a 12 a 13a 11 a 12 a 13Aa 12 a 22 a 23，Ba 12 a 22 a 23a 13 a 23 a 33a 13 a 23 a 3310 rR 3 ，这时方程组的系数行列式a 11 a 12 a 133a 12 a 22 a 23 0 ，方程组有惟一a 13a 23a 33例1椭球面222xyzz2 1 与双曲面 x2c 2 2 2 yz b221的 I 3分别为c1120 020 0 aa122 2 20 与12b 2a 2b 2c2b 21 21 2cc1决定，方程组（ 6.2-2）叫做二次曲面（ 1）的 中心方程组 。

根据（ 6.2-2 ）的系数矩阵 A 与增光矩阵 Ba 24 的秩 r 与 R ，有：a 34aab222abc22xF 1( x, y, z)2a 与 F 2(x,y,z) y2 0 bF 3(x,y,z) 2 0c因此，它们的中心都是坐标原点( 0，0 ，0)22例2 抛物面ax 2 by 2 2z .0012 0 0 ， 所 以 抛 物 面 为 非 中 心 二 次 曲 面 ， 它 的b2 00F 3(x, y, z) 1，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。

例 3 对于曲面 y 2 z 2 c 2 0000I 3= 0 1 0 0 ，所以他是非中心二次曲面，但由于 F 1(x,y,z) 0 001y0F 2( x, y, z) y F 3 (x, y, z) z ，所以曲面有一条中心直线，所给曲面为线心曲面。

z0(曲面实际上是一个圆柱面，中心直线就是它的对称轴。

)作业： P 2542,4,6,8x F 1(x,y,z) 2 0 a y F 2 (x,y,z) 2 0 b F 3(x,y,z) z2 0c其I1 2 a 0 0§ 6.3 二次曲面的切线与切平面定义 6.3.1: 直线与二次曲面相交于互相重合的两个点, 那么这条直线叫二次曲面的切线. 重合的交点称之为切点.特殊情形: 直线全部在二次曲面上, 亦称之为二次曲面的切线, 直线上每一点均是切点.(二次曲面的直母线线也是切线。

)一. 通过曲面上点( x0, y0, z0 )的切线方程2 2 2F(x, y,z) a11x a22 y a33z 2a12 xy 2a13 xz2a23yz 2a14x 2a24 y 2a34z a44 0 (1)x x0 Xt通过曲面( 1)的点(x0, y0, z0 )的直线y y0 Yt (2)z z0 Zt1. 直线( 2)曲面( 1)相交于连个重合点的充要条件：(X,Y,Z) 0 XF1 (x0 , y0 , Z0 ) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 (x0 , y0 , Z0 ) 02. 直线( 2)整个属于曲面( 1)的充要条件：(X,Y,Z) 0 XF1 (x0 , y0 , Z0 ) YF2(x0,y0,Z0) ZF3 (x0 , y0 , Z0 ) 0综合1、2、两种情况：通过曲面( 1)上的点( x0, y0 , z0)的直线( 2)成为曲面在这个点处的切线的充要条件是：XF1(x0,y0,Z0) YF2(x0,y0,Z0) ZF3(x0,y0,Z0) 2 0 (3)10，F1(x0,y0,z0)，F2(x0,y0,z0) ，F3(x0,y0,z0)不全为零。