2．1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
双基达标 （限时20分钟）
1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )． A ．(±13，0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)
D ．(0，±69)
解析 由题意知，椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，
故焦点坐标为(0，±69)． 答案 D
2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )．
A.32
B.34
C.22
D.23
解析 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214
＝1，则a 2＝1，b 2＝1
4，c
＝
a 2－
b 2＝32，故离心率e ＝
c a ＝3
2.
答案 A
3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是6
3，则椭圆C 的方程为( )． A.x 23＋y 2
＝1 B ．x 2
＋y 2
3＝1
C.x 23＋y 2
2＝1
D.x 22＋y 2
3＝1
解析 因为c a ＝6
3，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝
a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的
方程为x 23＋y 2
＝1. 答案 A
4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．
解析 设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4.
所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2
＝1.
答案 x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2
＝1
5．已知椭圆x 2k ＋8
＋y 29＝1的离心率为1
2，则k 的值为________．
解析 当k ＋8>9时，e 2
＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8
＝14，k ＝4；
当k ＋8<9时，e 2
＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－5
4.
答案 4或－5
4
6．求椭圆x 24＋y 2
＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 解 已知方程为x 24＋y 2
1＝1，所以，a ＝2，b ＝1，c ＝4－1＝3，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a ＝4，2b ＝2，离心率e ＝c a ＝3
2，两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，椭圆的四个顶点是A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－1)，B 2(0，1)．
综合提高 （限时25分钟）
7．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( )． A.14 B.1
2 C ．2 D ．4
解析将椭圆方程化为标准方程为x2＋y2
1
m
＝1，
∵焦点在y轴上，∴1
m>1，∴0<m<1.由方程得a＝1
m
，b＝1.∵a＝2b，∴m
＝1
4.
答案 A
8．过椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦
点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()．
A.
5
2 B.
3
3 C.
1
2 D.
1
3
解析记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝2c
3
，|PF2|＝4c
3
，则椭圆的离心
率e＝2c
2a ＝|F1F2|
|PF1|＋|PF2|
＝2c
2c
3
＋4c
3
＝3
3
，故选B.
答案 B
9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为
3
2，且G上一点
到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析依题意，设椭圆G的方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)，
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.
∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为3
2
，
∴e＝c
a ＝
a2－b2
a
＝3
2
，∴
36－b2
6
＝3
2
，
∴b2＝9.∴椭圆G的方程为x2
36＋y2
9
＝1.
答案x2
36＋
y2
9＝1
10．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心
率为3
5的椭圆的标准方程为________．
解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝92，
c a ＝35，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧a ＝5
2，b ＝4
2.
但焦点位置不确定．
答案 x 250＋y 232＝1或x 232＋y 2
50＝1
11．已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A (2，－6)．求椭圆的标准方程． 解 法一 依题意a ＝2b .
(1)当椭圆焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 24b 2＋y 2
b 2＝1. 代入点A (2，－6)坐标，得44b 2＋36
b 2＝1，解得b 2＝37， ∴a 2＝4b 2＝4×37＝148， ∴椭圆的标准方程为x 2148＋y 2
37＝1.
(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆方程为y 24b 2＋x 2
b 2＝1. 代入点A (2，－6)坐标得364b 2＋4
b 2＝1， ∴b 2＝13，∴a 2＝52.
∴椭圆的标准方程为y 252＋x 2
13＝1.综上所述， 所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 2
13＝1. 法二 设椭圆方程为x 2m ＋y 2
n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 由已知椭圆过点A (2，－6)，所以有4m ＋36
n ＝1.① 由题设知a ＝2b ，∴m ＝2n ，② 或n ＝2m ，③
由①②可解得n ＝37，∴m ＝148.
由①③可解得 m ＝13，∴n ＝52.
所以所求椭圆的标准方程为 x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 2
52＝1.
12．(创新拓展)已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)． (1)求椭圆E 的标准方程；
(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．
解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3. ∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 20
3＝1.
①
MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)， 由MP ⊥MH 可得MP
→·MH →＝0， 即(t －x 0)(2－x 0)＋y 2
0＝0.
②
由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－3
2.∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1. ∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。