这类检验可分别用两个t检验进行：
t ˆ 1 S ˆ
或
t
ˆ
Sˆ
（ 3）
问题是，（3）式计算的t值不服从t分布，而是服从一 个非标准的甚至是非对称的分布。因而不能使用t分布表， 需要用另外的分布表。 迪基（ Dickey ） 和富勒（ Fuller）以蒙特卡罗模拟为 基础，编制了（3）中tδ统计量的临界值表，表中所列已非 传统的t统计值，他们称之为源自统计量，即DF分布。(见附表 5)

3、自相关函数

设{Xt，t=1,2,┅}是一个时间序列，称：
(t , s)
r (t , s ) r (t , t )r ( s, s)
为时间序列{Xt，t=1,2,┅}的自相关函数。它反映 了时间序列{Xt，t=1,2,┅}在两个不同时刻取值的 线性相关程度。
三、平稳和非平稳时间序列
ADF检验是通过下面三个模型完成的：
X t X t 1
X t X t 1
X u X u
j j 1 p t j t
p
①
j
t j
t
第二节 时间序列的 平稳性检验
一、利用散点图进行平稳性检验

一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种
围绕其均值不断波动的过程； 而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具 有不同的均值（如持续上升或持续下降）。

二、利用样本自相关函数进行平稳性判断
一个时间序列的样本自相关函数定义为：
T k
ˆk
其中X0是Xt的初始值，可假定为任何常数或取初值为0，则：
Var ( X t ) Var ( X 0 t 2
u ) Var(u )
t t t 1 t 1
t
t
这表明Xt的方差随时间而增大，平稳性的第二个条件不 满足，因此，随机漫步时间序列是非平稳时间序列。 可是，若将Xt = Xt－1+ut写成一阶差分形式： ΔXt=ut
2、自协方差函数
设{Xt，t=1,2,┅}是一个时间序列，称： r(t,s)=Cov(Xt,Xs)=E[(Xt-E(Xt))(Xs-E(Xs))] (t,s=1,2,┅) 为时间序列{Xt，t=1,2,┅}的自协方差函数。 若t=s，则称：r(t,t)=Cov(Xt,Xt)=E[(XtE(Xt))]2=Var(Xt) (t=1,2,┅)为时间序列{Xt， t=1,2,┅}的方差函数，记为σ 2t 。它表示时间 序列{Xt，t=1,2,┅}在时刻t对于均值μ (t)的偏 离程度。
(X
t 1
t
X )( X t k X ) ( X t X )2

t 1
T
k 1,2,3,
随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。 但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快 得多。
ˆt e
1
ˆt e
1
0 (a)
k
0 (b)
k
平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
三、单位根检验
1、单位根
单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍应用 的一种检验方法。 我们已知道，随机游走序列：Xt=Xt-1+ut是非平稳的， 其中ut是白噪声。而该序列可看成是随机模型： Xt=Xt-1+ut （1） 中参数=1时的情形。 （1）式称为一阶自回归过程（AR（ 1）），可以 证明该过程在||＜1时是平稳的，其他情况下，则为非 平稳过程。不难验证： ||>1时，该随机过程生成的时 间序列是发散的，表现为持续上升（ >1)或持续下降 （<-1)，因此是非平稳的。
检验步骤：
第一步：对（2）式执行OLS回归，即估计： ΔXt=δXt－1+ut （2） 得到常规tδ值。 第二步：检验假设： H0：δ≥ 0 H1：δ＜0 用上一步得到的 tδ值与附表5中查到的τ临界值比较， 判别准则是：（左单尾检验） 若tδ >τ ， 则接受原假设H0，即Xt非平稳。 若tδ ＜τ ，则拒绝原假设H0，Xt为平稳序列。
这个一阶差分新变量ΔXt是平稳的，因为它就等于白 燥声ut，而后者是平稳 时间序列。
2、带漂移项的随机游走序列
Xt=μ+Xt－1+ut （ 1） 其中μ是一非0常数，ut为白噪声。 μ 之所以被称为“漂移项”，是因为（ 1 ）式的一阶 差分为： ΔXt = Xt－Xt-1 =μ+ut 这表明时间序列Xt向上或向下漂移，取决于μ的符号 是正还是负。 易证明：E(Xt）= X0+tμ Var(Xt) = tσ2 显然，带漂移项的随机游走序列也是非平稳时间序列。
Dickey 和 Fuller 注意到 τ 临界值依赖于回归方程 的类型。因此他们同时还编制了与另外两种类型方程 中相对应的τ 统计表，这两类方程是： △Xt=α +δ Xt-1+ut （4） 和 △Xt=α +β t+δ Xt-1+ut （5） 二者的τ 临界值分别记为τ μ 和τ T。这些临界值 亦列在附表5中。尽管三种方程的 τ 临界值有所不同， 但有关时间序列平稳性的检验依赖的是 Xt-1 的系数 δ ， 而与α 、β 无关。
3、ADF检验
进一步的问题：在上述使用：
Xt=Xt-1+ut 对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列 是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。 但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程 生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行 估计均会表现出随机误差项出现自相关，导致DF检验无效。 另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋 势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随 机误差项问题。 为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和 Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment DickeyFuller ）检验。
第十章 时间序列分析
内容提要
第一节 时间序列的基本概念
第二节 时间序列的平稳性检验
第三节 协整分析
第四节 误差修正模型 第五节 格兰杰因果关系检验
第一节 时间序列的 基本概念
一、时间序列

随机过程：随时间由随机变量组成的一个有序 序列称为随机过程。用{Xt,t∊T}表示。简记为 {Xt}或Xt。
时间序列：随机过程的一次观测结果称为时间 序列。也用{Xt,t∊T}表示，并简记为{Xt}或Xt。 时间序列中的元素称为观测值。

二、时间序列的数字特征
1、均值函数
设{Xt，t=1,2,┅}是一个时间序列，称： μ (t)=E(Xt) (t=1,2,┅) 为时间序列{Xt，t=1,2,┅}的均值函数。 由于固定的t，yt是一个随机变量，所以 E(Xt) 是一个确定的数。当t变化时，μ (t)是 t的一个函数，它是时间序列{Xt，t=1,2,┅} 的所有样本函数在时刻t的函数值的平均。
判断伪回归的经验法则：

Granger & Newbold（1974）提出当用时间序列 数据进行回归时，如果R2在数值上大于DW统计量， 就有理由怀疑伪回归存在。
一般认为，如果序列非平稳，不能使用回归模 型，这应该视作一个基本规则。


所以，在用时序数据进行回归时，首先要判断 序列是否平稳，要进行平稳性检验。
3、带趋势项的随机游走序列
Xt=μ+ βt+Xt－1+ut 容易证明，带趋势项的的随机游走序列也是非 平稳时间序列。
三、伪回归

如果使用非平稳序列进行回归，容易出现两个独立的序 列表现出强相关关系，统计检验显著的现象，称为伪回 归（spurious regression）
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关 性（有较高的R2）例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回 归也可表现出较高的可决系数。 在本质上，非平稳序列不能满足回归模型基本假定，是出现伪 回归的根本原因。 如：用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP时间序列作回归，会得 到较高的R2 ，但不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它们有 共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的。 在现实经济生活中：情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或 下降。这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得 到有意义的结果。
（独立同分布)的缩写。
二、非平稳时间序列

非平稳性（non-Stationarity）：时间序列的统 计规律随着时间的位移而发生变化，即统计 特征随时间而变化。

只要平稳性的三个条件不全满足，则该 时间序列是非平稳的。事实上，大多数经济
时间序列是非平稳的。
几种常用的非平稳时间序列模型：
设{Xt，t=1,2,┅}是一个时间序列。 1、随机游走（Random walk）序列 2、带漂移项的随机游走(Random walk with drift)序列 3、带趋势项的随机游走 (Random walk with
检验（1）式是否存在单位根=1，也可通过（2）式判断 是否有=0。
假设为正（绝大多数经济时间序列确实如此），前面的 假设可写成如下等价形式： H0：δ≥0 H 1 ： δ＜ 0 在δ=0的情况下，即若原假设为真，则相应的过程是非平 稳的。换句话说，非平稳性或单位根问题，可表示为=1或 δ=0。从而我们可以将检验时间序列Xt的非平稳性的问题简化 成在方程（1）的回归中，检验参数 =1 是否成立或者在方程 （2）的回归中，检验参数δ=0是否成立。
1、平稳时间序列
平稳性（Stationarity）：时间序列的统计规律不
会随着时间的推移而发生变化，即统计特征不随