专题 动点轨迹问题
—— 直线、圆弧型路径
自查：
（2018 广州25题）如图12，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，∠D ＝30°，AB ＝B C . （1）求∠A ＋∠C 的度数；
（2）连接BD ，探究AD ，BD ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB ＝1，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足2
2
2
+CE AE BE ，求点E 运动路径的长度.
一．几何模型
（1）直线型路径
①【定距离判断直线型路径】
当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直线.
②【定角度判断直线型路径】
当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变，该动点的路径为直线.
（2）圆弧型路径
①【用一中同长定圆】
到定点的距离等于定长的点的集合是圆.
②【用定弦对定角定圆】
当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧.
二．典例分析
例1如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，且AE：ED=1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 .
例2如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为 .
2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半例3如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2
圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 .
例4 在正方形ABCD中，AD=2，点E从点D出发向终点C运动，点F从C出发向终点B运动，且始终保持DE=CF.连接AE，DF交于点P，则点P运动的路径长是 .
三、巩固练习
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D 点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 .
1题图 2题图 3题图
2.如图，等边三角形ABC中，BC=6，D、E是边BC上两点，且BD=CE=1，点P是线段DE上的一个动点，过点P 分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为 .
3.如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．若点E从在圆周上运动一周，则点F所经过的路径长为 .
2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线4.如图，已知点A是第一象限内横坐标为3
段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径是．
4题图 5题图 6题图
5.如图，在边长为3的等边三角形ABC中，P为AC边上一动点，Q为线段PC上一点，∠PBQ=30°，D为BQ延长
线上一点，PD=PB. 当点P 从点A 运动到AP=
3
1
AC 时，点D 经过的路线长为 .
6. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=AC=2，线段BC 上一动点P 从点C 开始运动，到点B 停止，以AP 为边在AC 的右侧作等边△APQ ，则点Q 运动的路径长为 .
7. （2018 花都区一模 ）
已知,如图1，正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在边AB 、AD 的延长线上,且BE DF =，连接EF . （1）证明：EF AC ⊥；
（2）将AEF ∆绕点A 顺时针方向旋转，当旋转角α满足045α︒<<︒时，设EF 与射线AB 交于点G ，与AC
交于点H ，如图2所示，试判断线段FH ，HG ，GE 的数量关系，并说明理由.
（3）若将AEF ∆绕点A 旋转一周，连接DF 、BE ，并延长EB 交直线DF 于点P ，连接PC ，试说明点P 的
运动路径并求线段PC 的取值范围.
8.（2017 越秀区期末25题）
如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（0,3），B（5,3）.点P（x，0）是x轴正半轴上的一个动点，以BP为直径作圆Q交x轴于点C，圆Q与直线AC交于点D，连接PD、BD，过点P作PE∥BD交圆Q于点E，连接BE. （1）求证：四边形BDPE是矩形；
（2）设矩形BDPE的面积为S，试求S关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并判断S是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由；
（3）当0≤x≤5时，求点E移动路线的长.
备用图
9.（2018 越秀区期末25题）
如图1所示，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AB、AD的中点，如图2所示，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°<α 90°），射线BE、DF相交于点P.
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）如图2，在△AEF旋转过程中，若射线BE恰好通过AD的中点H，求PF的长；
（3）如图3，若将△AEF从图1的位置旋转至AE⊥BE，试求点P在旋转过程中的运动路径长.
10.如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG．
（1）设AE＝x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．
11.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2．点P 从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长.
12.如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A 点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x秒．
（1）Q点的坐标为( , )（用含x的代数式表示）；
（2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？
（3）记PQ的中点为G．请你直接写出点G随点P，Q运动所经过的路线的长度．
13.已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上的一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．
（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；
（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．
①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．
14. 已知抛物线 ()02
3:21≠-+=a bx ax y C 经过点A （1,0）和B （-3,0）. （1）求抛物线1C 的解析式，并写出其顶点C 的坐标；
（2）如图1，把抛物线1C 沿着直线AC 方向平移到某处时得到抛物线2C ,此时点A ，C 分别平移到点D ，E 处.设点F 在抛物线1C 上且在x 轴的上方，若△DEF 是以EF 为底的等腰直角三角形，求点F 的坐标.
（3）如图2，在（2）的条件下，设点M 是线段BC 上一动点，EN ⊥EM 交直线BF 于点N ，点P 为线段MN 的中点，当点M 从点B 向点C 运动时：①tan ∠ENM 的值如何变化？请说明理由；②点M 到达点C 时，直接写出点P 经过的路线长.
15.如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一个动点(点C除外)，直线PM交AB的延长线于点D．
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
(2)当△ADP是等腰三角形时，求m的值；
(3)设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图2)．当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长(不写解答过程)．
16.问题探究：
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．。