专题四：求动点轨迹方程5种方法（解析版）
一、直接法
步骤：1、建立恰当的坐标系，设动点坐标()y x ，；
2、由已知条件列出几何等量关系式，建立关于y x ，的方程()0=y x f ，；
3、化简整理；
4、检验，检验点轨迹的纯粹性与完备性。

[例1] 已知圆O 的方程是022
2
=-+y x ，圆O '的方程是01082
2
=+-+x y x ，如图所示。

由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，求动点P 的轨迹方程。

【解析】
设()y x P ，，由圆O 的方程为：22
2
=+y x ，圆O '的方程为
()6422=+-y x 。

由已知得BP AP =，所以22BP AP =，
所以2222B O P O OA OP '-'=-，则622
2-'=-P O OP 。

所以()6422
2
22-+-=-+y x y x ，化简得2
3=
x 。

所以动点P 的轨迹方程为2
3=x 。

[练习1] 已知平面上两定点()20-，
M ，()20，N ，点P 满足MN PN MN MP ⋅=⋅，求点P 的轨迹方程。

【解析】
设()y x P ，，则()2+=y x MP ，，()40，=MN ，()y x PN --=2，，因为MN PN MN MP ⋅=⋅，所以
()()222424y x y -+=+，所以()2222y x y -+=+。

两端同时平方得：2
2
2
4444y y x y y +-+=++，整理得：y x 82
=。

所以点P 的轨迹方程为y x 82
=
二、定义法
步骤：1、分析几何关系；
2、由曲线的定义直接得出轨迹方程。

[例2] 已知圆A ：()3622
2
=++y x ，()02，
B ，点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。

【解析】 由题可得，()02，
-A ，4=AB 。

因为Q 点在线段PB 的中垂线上，所以QB PQ =。

所以AB PA PQ QA QB QA >==+=+6，
所以Q 点的轨迹是以B A ，为焦点的椭圆。

设其方程为()0122
22>>=+b a b
y a x 。

则⎪⎩⎪
⎨⎧+===22226
2c b a c a ，即⎪⎩
⎪⎨⎧===2
53c b a ，所以Q 点的轨迹方程为15922=+y x 。

[练习2] 已知圆1C :()1322
=++y x 和圆2C ：()932
2
=+-y x ，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动
圆圆心M 的轨迹方程。

【解析】 设动圆M 与圆1C 和圆2C 分别相切于点A 和点B ， 所以MB MA =，所以MA AC MC =-11，MB BC MC =-22 上式相减得：2131212=-=-=-AC BC MC MC ，且621=C C 。

所以21122C C MC MC <=-，
所以动点M 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的双曲线左支。

其中322==c a ，，所以1=a 。

所以动点M 的轨迹方程为()118
2
2
-≤=-x y x
三、相关点法
步骤：1、设所求轨迹的动点为()y x P ，，相关点()00y x Q ，；
2、根据点的产生过程，找到()y x ，和()00y x ，的关系，并将00y x ，用y x ，表示；
3、将()00y x ，代入相关点的曲线，化简即可得到所求轨迹方程。

[例3] 已知点P 在椭圆1422=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足3
1
=，求动点M 的轨迹方程。

【解析】 设()00y x P ，，()y x M ，，则()00y Q ，
， 所以()00y y x x PM --=，，()00，x PQ -=。

因为31=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0
3000y y x x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧
==y y x
x 0023①。

因为点P 在椭圆1422=+y x 上，所以14
2
02
0=+y x ， 把①带入得
116922=+y x ，所以动点M 的轨迹方程为116
9
22=+y x 。

[练习3] 过双曲线12
2
=-y x 上一点Q 作直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 所形成的曲线方程。

【解析】 设动点()y x P ，，点()00y x Q ，，则()0022y y x x N --，。

把N 带入直线2=+y x 得：22200=-+-y y x x ① 右因为PQ 垂直于直线2=+y x ，所以
10
-=--x x y y ② 由①②可得：121230-+=
y x x ，12
3
210-+=y x y 。

带入双曲线方程得：112321121232
2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y x y x 。

整理得：0122222
2
=-+--y x y x 。

所以动点P 的曲线方程为0122222
2
=-+--y x y x 四、参数法
步骤：1、引入参数；
2、将所求轨迹的点()y x ，用参数表示；
3、消去参数；
4、研究范围。

[例4] 过点()10，
的直线l 与椭圆14
2
2
=+y x 相交于B A ，两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

【解析】 当直线l 斜率不存在时，易知M 点即为原点O 。

当直线l 斜率存在时，设其方程为：1+=kx y ，()11y x A ，，()22y x ，，()y x M ，。

由⎪⎩
⎪⎨⎧=+
+=14122y x kx y ，得()032422=-++kx x k ，显然满足判别式0>∆。

所以42221+-=
+k k x x ，()4
8
22
2121+=++=+k x x k y y 。

由M 为AB 中点，所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=+-=+=44242221221k y y y k k x x x ，消去参数k 得042
2=-+y y x 。

显然原点也满足上式方程。

所以M 的轨迹方程为042
2
=-+y y x
[练习4] 过抛物线()022
>=p px y 的顶点O 作两条垂直的弦OA ，OB ，求线段AB 中点M 的轨迹方程。

【解析】 由题可得OB OA ，所在直线斜率存在，设(
)
12
122pt pt A ，
，(
)
22
222pt pt B ，。

因为OB OA ⊥，所以122222
2
2
211-=⋅=
⋅pt pt pt pt k k OB OA ，即121-=t t 。

设AB 中点为()y x M ，，则()
()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=212122212
221222222t t p pt pt y t t p pt pt x ， 消去21t t ，得：2
22p px y -=
五、待定系数法
步骤：根据给出的带有参数的方程以及该曲线所具备的一些性质确定参数，然后求解方程。

即设法建立关于
b a ，的方程组，先定性，再定量，若位置不确定时，考虑是否两解。

[例5] 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。

【解析】 设所求的椭圆方程为()012222>>=+b a b y a x 或()0122
22>>=+b a b
x a y 。

由题可得：()⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+=2222
223525
32c b a c a ，解得⎪⎩
⎪⎨⎧===2324c b a 。

故所求方程为
1121622=+y x 或112
162
2=+x y 。

[练习5] 易知椭圆C ()012222>>=+b a b
y a x 的右焦点1F 与抛物线x y 42
=的焦点重合，原点到过点()0，
a A ，()
b B -，0的直线距离为
7
21
2，求椭圆C 的标准方程。

【解析】 抛物线x y 42
=焦点坐标为()01，
，所以1=c 。

直线AB 所在直线方程为：
1=-b
y
a x ，即0=--a
b ay bx 。

所以原点到直线AB 的距离为7
21
22
2=
+=
-b a ab d AB O 。

所以⎪⎩⎪⎨⎧==-=+1
72122
2222c b a b a ab ，解得⎪⎩⎪
⎨⎧==3422
b a 。

所以椭圆C 的标准方程为13
42
2=+y x。