第五章 光学信息处理基础光学信息处理是在全息术、光学传递函数和激光的基础上，将数学中的傅里叶变换和通信中的线性系统理论引入到光学，用光学的方法实现傅立叶变换，在频域中描述和处理光学信息。

傅立叶分析的方法早在十九世纪末、二十世纪初成功地应用于光学领域，具有代表性的是阿贝关于显微镜的两次成像理论和阿贝-波特实验。

上个世纪三十年代泽尼克发明的相衬显微镜是光学信息处理的早期卓越成就。

激光器的出现为人们提供了相干性非常好的光源，光学信息处理得到迅速发展，例如用光学的方法实现相关运算、特征识别微分运算等。

本章主要内容：1波前变换；2阿贝成像原理和相衬显微镜；3傅里叶变换；4傅立叶变换光学及光学信息处理；5光学全息照相；§1 波前变换(Wave front transformation) 1.1 对衍射的再认识前面我们把光经过障碍物后偏离传播的现象称为衍射。

应用惠更斯-菲涅耳原理讨论了光的衍射问题后，我们意识到光的衍射是光在传播的过程中波面受到某种限制，即自由传播波面被破坏，这便是衍射。

按照惠更斯-菲涅耳原理，只要将波前()0U Q 上每一面元看成次波中心，把它们对空间某一点的贡献相干叠加，就能求衍射场的分布()U P ，并且波前()U P 由()0U Q )唯一的确定。

上述意味着，在Σ上有障碍物存在，使得Σ上波前函数()0U Q )发生了与自由传播有所不同的变化，光波场就会产生重新分布，这就是衍射的实质。

1.2 衍射系统的屏函数(screen function)按照前面我们对光的衍射认识，凡能改变波前上的复振幅的物体称为衍射屏（diffractionfunction ）。

衍射屏可以是透射物体，也可以示反射物体，有各种形状。

光波经过衍射屏是光的传播问题，要用菲涅耳-基尔霍夫积分公式计算，把这种衍射看作是一种变换，衍射屏能将输入波前()in U x,y %转化为波前()outU x,y %，衍射屏可用以下一个函数表征。

()()(),,,out inU x y T x y U x y =屏函数包括振幅和相位两部分，通常有以下三种 ① 相位型 ② 振幅型 ③ 振幅相位型任何形状的孔或遮光屏是最简单的振幅型透射衍射屏，他们的函数具有如下形式()10,T x,y ,ìïï=íïïî% 透镜是常见的相位型衍射屏。

0ϕπ-1.3平面波的波前函数一个沿k方向传播的平面波，在x-y 平面上的复振幅可表示为(exp U r A j k r ϕ⎡⎤=+ （6-1）波场中空间任意点P 的相位落后于O 的相位为()()P O k r ϕϕϕ∆=-=式中r OP =，()()12cos cos cos cos x y k r k x k y k x y k x y αβθθ=+=+=+式中cos ,cos αβ分别是波矢k的方向余弦，1θ和2θ分别是α和β的余角，从而有()()()12cos cos P k x y O ϕθθϕ=++，可以看出平面波前相位因子是x,y 的先行函数。

如图所示，平面波前上的等相位线是等间隔的平行线。

相位差为2π，1.3.2 球面波前函数球面波的振幅与p 点到源的距离r 成反比()jkr A Ur e r= （6-2） 透光部分 遮光部分(U %1.4 傍轴条件 远场条件（轴上物点）把前面的球面波前函数表达式运用到衍射问题上，我们可以去一些近似。

通常衍射装置中，点源或衍射屏上的次波源离轴线的横向距离0ρ=和接受屏上场点横向距离ρ=z 小的多，面前函数中的r 可展作幂级数开成。

()()220022222000022222000121222x x y y r z z x y xx yy x y z ...z z zxx yy x y r ...z z轾-+-犏=+犏犏臌轾+++犏=++-+犏臌++=+-+ （6-4） 波前中心o 到振源s 之间的距离r0为002202x y r zz+? （6-5）若点源在轴上，x0=y0 =0 上式化为222x y r z z+=+（6-6）会聚波发散波有两种近似条件：旁轴条件和远场条件 （1）旁轴条件220221,z zr r = （6-7） ()jkr A U r e r=%式中的振幅A/r 是r 的缓变函数，在旁轴条件下r 的二次项可以忽略，认为A/r ≈A/z ，在波前上是常数，而相位因子随r 是急剧震荡的函数，不能忽略二次项。

所以旁轴条件下的波前 函数表示为()02200,exp exp 2jkr xx yy Ae x y U x y jk jk z z z ⎛⎫++⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6-8） 会聚球面波的波前函数则为()022*00,exp exp 2jkr xx yy Ae x y U x y jk jk z z z -⎛⎫++⎛⎫≈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6-9） 对于轴上点()022,exp 2jkr Ae x y U x y jk z z ⎛⎫+≈ ⎪⎝⎭（6-10）()022*,exp 2jkr Ae x y U x y jkz z -⎛⎫+≈- ⎪⎝⎭（6-11） （2） 远场条件源点202ρπ k z 或20zρλ ， 场点22k z ρπ 或2ρλ z 通常衍射装置 很难满足上述条件的尤其是场点很难满足远场条件。

若只有源点满足远场条件，则有r0≈z ，于是（12），（13）式化为()2200,exp exp 2jkz xx yy Ae x y U x y jk jk z z z ⎛⎫++⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6-14）()22*00,exp exp 2jkz xx yy Ae x y U x y jk jk z z z -⎛⎫++⎛⎫≈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6-15）1.5 透镜的相位变换函数在透镜的前后各取一平面Σin 和 Σout ，设在它们上面的输入波前函数和输出波前函数分别是()()()()()()ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ in out j x,y in in j x,y outout U x,y A x,y eU x,y A x,y e （6-16）我们可以把透镜看作一个相位型透射屏，现计算它的屏函数()()ϕ= L j x,y LT x,y Ke （6-17）通常透镜的投射率很高，k 近似等于1，即k=Aout/Ain ≈1严格计算 φL(x,y)= φout (x,y)-φin(x,y)是困难的，现在旁轴条件下计算由于透镜很薄，入射点和出射点的坐标很相近，光程可以近似沿平行于光轴方向计算()()()()()()120121ϕ=∆+∆+⎡⎤⎣⎦=--∆+∆⎡⎤⎣⎦L x,y k x,y x,y nd x,y k nd n （6-18）其中 d0=d+ Δ1+Δ2=透镜中心厚度，与x,y 无关，常 可以略去不写，Δ1 和 Δ2分别可以写成()()()221112222222+∆=-≈+∆=--≈-x y x, y r r x y x, y r r （6-19）r1 和r2分别是透镜前后表面的曲率半径。

()()22221211122L n x y x,y k x y kr r Fϕ⎛⎫-+=--+=- ⎪⎝⎭（6-20）于是透镜的屏函数为,Q '2()222L x y T x,y exp jk F ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ （6-21）式中F 正是前面几何光学讨论过的透镜焦距公式，如果入射波为平行于光轴的平面波，即出射为()()()()222out in LU x,y U x,y T x,y x y U o exp jk F =⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（6-22）上式代表会聚到距透镜为F 的球面波，如果入射波是由s 发出发散球面波()222jkz inAe x y U x,y exp jk z s ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （6-23）出射波为()()()22222222112out in Ljkz jkz U x,y U x,y T x,y Ae x y x y exp jkexp jk z F s Ae x y exp jkz F s =⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6-24）令111s F s=-' ()222jkz out Ae x y U x,y exp jk z s ⎛⎫+=- ⎪'⎝⎭ （6-25）上式代表会聚到透镜后轴上距离为s ’处的球面波。

1.6 棱镜的相位变换函数棱镜的作用不是成像，是让光方向发生偏折，将一束平行光变换成另一束平行光，平行光的相位子为线性，因此棱镜相位变因子应该为线性。

对于楔形棱镜可近似认为光线在两界面上等高。

设棱角为α，折射率为n ，则相位差为()()()()()01p x ,y k x ,yn d x ,y k n d n x ,yϕ=∆+⎡⎤⎣⎦=--∆⎡⎤⎣⎦（6-26）式中knd 0是常量，可以略去。

则()()1p x,y k n x ϕα=-()()1p T x,y exp jk n x α⎡⎤=--⎣⎦（6-27） 以上计算是针对一维情况，对二维有()()()121p T x,y exp jk n x y αα⎡⎤=--+⎣⎦（6-28） 如果入射波是来自于点源Q 的球面波()222jkz inAe x y U x,y exp jk z s ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（6-29） 我们知道，一个楔形棱镜位相变换函数是x 和y的作用就等效于一个棱镜 考虑透镜薄的位相变换函数， 出射波前函数为()()()[]221212αα=⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭out in PjkzU x,y U x,y Tx,y Ae x y exp jkexp k(n )(x y )z s（6-30） 出射波是轴外点源Q’发出的发散球面波，点源的位置由线性相因子系数决定()()010211x n sy n sαα⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ （6-31） §2 阿贝成像原理 2.1 阿贝成像原理传统成像的观点是物和像的对应关系是点对点。

另一种观点，着眼于频谱的变换：物是一系列不同空间频率信息的集合，相干成像分成两步。

相干入射光经过物平面发生夫琅和费衍射，在透镜后焦面上形成一系列衍射斑。

第二步是干涉，衍射斑发出的球面波在像平面上相干叠加，像就是干涉场。

这种成像的理论就是阿贝成像原理。

因为任何图像都可以作傅里叶 展开，最基本的图像是单频信息的正弦光栅。

Q 'A 'CinoutU U设光栅的空间周期为d ，空间频率f ，f=1/d ，正弦光栅的 波前为()()()2212112o j fx j fx U x,y A cos fx A e e πππ-⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦（6-32） 与平面波前()()()120U x,y U exp k x sin y sin q q 轾=+臌%%相比较 上式代表三列平面波，方向分别在0 =0θ，±sin =2/k f θπ±三列波被透镜接受，在后焦面上形成三个夫琅和费衍射斑S 0 ,S ±,像面上的场是三个衍射斑的相干叠加。