19
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
2020/2/29
20
3
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
1
F( j)
(π)
(π)
t -0
0
0

余弦信号及其频谱函数
2020/2/29
12
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t

1 (e j0t 2j
- e-j0t ) F - jπ[d (
- 0 ) - d (
0 )]
sin 0t 1
2020/2/29
(t)]


2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0

d (
n-
-
n0 )
dT (t)
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )

2020/2/29 - T 0 T
t

-0 0 0
16
4.3、功率谱密度的性质
● 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等
dT
(t)


d
n-
(t
-
nT
)

1 T

e
n-
jn0t
F[d T
(t)]


2π
n-
1d
T
(
-
n0
)

0

d
n-
(
-
n0
)
2020/2/29
15
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串

dT (t) d (t - nT ) n-
F[d T
-1 t 0 sgn(t) 0 t 0
1 t 0
F[sgn(t)e-
t
]

0
-
(-1)et
e- jt
dt


0
e-t e- jt dt
- e( - j)t 0
- e -( j)t - 1
1
- j
j - j j
3. 单位冲激信号d(t)
F[d
(t)]


-
f (t)e-jt dt


-
d
(t)e
-
jt
dt
1
d (t)
F ( j)
(1)
1
t 0
0

单位冲激信号及其频谱
2020/2/29
5
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,-<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的
F[ f (at)]
1 a
-
-j x
f (x)e a dx
1
F(j)
aa
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
2020/2/29
25
8
4. 展缩特性 若f (t) F F( j) 则f (at) F 1 F( j ) aa
f (1 t) 2
2F (2 ) 2 A
2020/2/29
6
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0

对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
2020/2/29
7
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
F( j) - f (t)e-jt dt 0 e-at e-jt dt
e -(a j)t

1
- (a j) 0 a j
➢ 幅度频谱为
F ( j) 1 a2 2
➢ 相位频谱为
() - arctan( ) a
2020/2/29
2
一、常见非周期信号的频谱
RX ( )
GX ()
2020/2/29
17
傅立叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性
7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性
2020/2/29
18
2
傅立叶变换的基本性质
2020/2/29
F1 ( j) F ( j)e- jT
A Sa( )e-jT
2
24
7
4. 展缩特性
若f (t) F F ( j)
则f (at) F
1

F(j )
aa
证明:
F[ f (at)] - f (at)e-jt dt
令 x = at，则 dx = adt ，代入上式可得
式中t0为任意实数
✓ 证明： F[ f (t - t0 )] - f (t - t0 )e-jt dt
令x = t-t0，则dx = dt，代入上式可得
F[ f (t - t0 )] - f (x)e-j(t0 x)dx F ( j) e - jt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域
F ( j )
(π)
t
-0 0
(π)
0

正弦信号及其频谱函数
( ) π/2

0
-π/2
13
二、常见周期信号的频谱密度
3. 一般周期信号
fT (t)


Cn
e
jn0t
n-
(0

2π ) T
两边同取傅里叶变换
F[ fT (t)] F( j) F[


Cn
e
jn0t
1. 单边指数信号
F ( j) 1 a2 2
f (t) e -at u(t)，a 0，
() - arctan( ) a
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
f (t)
F(j)
( )
1
1/a
π/2
t 0 2020/2/29

0
0
-π/2
3
一、常见非周期信号的频谱
2. 双边指数信号 e-a|t|
0
f (t)
0.05
f (1.5t)
0.1
0.15
0.2
f (0.5t)
0.25
0.3
0.35
0.4
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 = 22050Hz
2020/2/29
27
10
5. 互易对称特性
若f (t) F F ( j)
f (t)
A
则F ( jt) F 2πf (-)
F(j) A
- 0
t
2
2
F(jt)/2
A
t
202-0/42π/29 - 2π 2π 4π



- 4π - 2π 2π 4π


f () A
- 0
2
2

28
11
6. 频移特性（调制定理）
若
f (t) F F ( j)
则
f (t) e j0t F F[ j( - 0 )]
F(j) = F*(j) ， F(j)是的实偶函数
当f(t)为实奇函数时，有
F(j) = - F*(j) ， F(j)是的虚奇函数
2020/2/29
22
5
3. 时移特性
若f (t) F F ( j) 则f (t - t0 ) F F ( j) e- jt0
]


Cn

F[e jn0t
]
n-
n-

F[ fT (t)] 2π Cnd ( - n0 )
n-
2020/2/29
14
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串

dT (t) d (t - nT ) n-
因为dT (t)为周期信号，先将其展开为指数形式
傅里叶级数：
t
-
0

f (t)
t


-
2
2
f (2t)
A
2020/2/29-
t
44

- 0


F ( ) A
- 2 0 2


1 F(1)
22
1 A
2
- 4
0
4



26
9
尺度变换后语音信号的变化
f(t)
f(2t)
f(t/2)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5
中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
2020/2/29
23
6
例1 试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频
谱函数F1(j)。
f1 (t )
A

f (t)
A
0
T
t
- 0
t
2
2
解： 无延时且宽度为 的矩形脉冲信号f(t) 如图，