静安区2015学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷 2016.1（完成时间：100分钟 满分：150分 ）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．21的相反数是（A ）2； （B ）2-； （C ）22； （D ）22-． 2．下列方程中，有实数解的是（A ）012=+-x x ； （B ）x x -=-12； （C ）012=--x x x ； （D ）112=--xx x． 3．化简11)1(---x 的结果是 （A ）x x-1； （B ）1-x x ； （C ）1-x ； （D ）x -1． 4．如果点A （2，m ）在抛物线2x y =上，将此抛物线向右平移3个单位后，点A 同时平移到点A ’ ，那么A ’坐标为（A ）（2，1）； （B ）（2，7） （C ）（5，4）； （D ）（－1，4）． 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，如果AD ＝m ，∠A =α, 那么BC 的长为 （A ）ααcos tan ⋅⋅m ； （B ）ααcos cot ⋅⋅m ； （C ）ααcos tan ⋅m ； （D ）ααsin tan ⋅m ．6．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC =∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的 （A ）AEABAD AC =； （B ）DE BC AD AC =； （C ）DE AB AD AC =； （D ）AEBCAD AC =． （第6题图）E二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：=-32)2(a ▲ ． 8．函数23)(+-=x x x f 的定义域为 ▲ ． 9．方程15-=+x x 的根为 ▲ ．10．如果函数m x m y -+-=1)3(的图像经过第二、三、四象限，那么常数m 的取值范围为 ▲ ．11．二次函数162+-=x x y 的图像的顶点坐标是 ▲ ．12．如果抛物线522+-=ax ax y 与y 轴交于点A ，那么点A 关于此抛物线对称轴的对称点坐标是 ▲ ．13．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 和AC 上的点，DE //BC ，BE与CD 相交于点F ，如果AE =1，CE =2，那么EF ∶BF 等于 ▲ .14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点G 是重心，如果31sin =A ，BC ＝2，那么GC 的长等于 ▲ .15．已知在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =2AD ，设a AB =，b BC =，那么=CD ▲ ．（用向量a 、b 的式子表示）； 16．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∠AED ＝∠B ，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，如果四边形DBCE 的周长为225，那么AD 17．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果BC =8，54sin =B ．那么=∠CDE tan ▲ ．18. 将□ABCD （如图）绕点A 旋转后，点D 落在边AB 上的点D ’，点C 落到C ’，且点C ’、B 、C 在一直线上，如果AB =13，AD =3，那么∠A 的余弦值为 ▲ ．（第17题图）BA CED （第13题图）F（第18题图）D ABC三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）化简：xx x x x x x 296462222-+-÷---，并求当213=x 时的值．20．（本题满分10分）用配方法解方程：03322=--x x ．21．（本题满分10分, 其中第（1）小题6分，第（2）小题4分））如图，直线x y 34=与反比例函数的图像交于点A （3，a ），第一象限内的点B 在这个反比 例函数图像上，OB 与x 轴正半轴的夹角为α，且31tan =α．（1）求点B 的坐标； （2）求△OAB 的面积． 22．（本题满分10分）如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向前走30米到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是45°和33.7°．求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1米）．(备用数据：00.26.26cot ,50.06.26tan ,89.06.26cos ,45.06.26sin =︒=︒=︒=︒，50.17.33cot ,67.07.33tan ,83.07.33cos ,55.07.33sin =︒=︒=︒=︒．)（第21题图）ABQP （第22题图）23．（本题满分12分，其中每小题6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，BD =AD =AC ，AD 与CE 相交 于点F ，EC EF AE ⋅=2．（1） 求证：∠ADC =∠DCE +∠EAF ；（2） 求证：AF ·AD=AB ·EF ． 24．（本题满分12分，其中每小题6分）如图，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA =∠OCA ． （1） 求点C 的坐标； （2） 求这个二次函数的解析式．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD =x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）如图，当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．ADBF E（第23题图）A B CD F GE （第25题图）静安区2015学年第一学期期末教学质量调研 九年级数学试卷参考答案及评分说明2016.1一、选择题：1．D ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．C ． 二、填空题：7．68a -； 8．2-≠x ； 9．4=x ； 10．31<<m ； 11．（3, -8）； 12．（2, 5）； 13．31； 14．2； 15．b a 21--； 16．2； 17．21； 18．135． 三、解答题：19．解：原式＝ )2()3()2)(2()3)(2(2--÷-+-+x x x x x x x ························································· （4分） ＝2)3()2()2)(2()3)(2(--⋅-+-+x x x x x x x ···························································· （1分）＝3-x x． ·············································································· （2分） 当3321==x时，原式＝231311333+-=-=-． ························· （3分） 20．解：023232=--x x , ············································································ （1分） 23232=-x x ,·················································································· （1分） 16923)43(2322+=+-x x , ································································· （2分） 1633)43(2=-x , ················································································ （2分） 43343±=-x , ··············································································· （2分）433231+=x ,433232-=x ． ··························································· （2分）21．解：（1）∵直线x y 34=与反比例函数的图像交于点A （3，a ）， ∴334⨯=a =4，∴点的坐标A （3，4）． ·············································· （1分） 设反比例函数解析式为xky =， ·························································· （1分）∴12,34==k k ，∴反比例函数解析式为xy 12=． ································ （1分）过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ， 由31tan ==OB BH α，设BH =m ，则OB =m 3，∴B （m 3，m ） ················ （1分） ∴mm 312=，2±=m （负值舍去）， ···················································· （1分） ∴点B 的坐标为（6，2）． ································································ （1分）（1）过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，OBH AEHB OAE OAB S S S S ∆∆∆-+=梯形 ························································· （1分）=BH OH EH BH AE OE AE ⋅-⋅++⋅21)(2121 ··································· （1分） ==⨯⨯-⨯++⨯⨯26213)24(2143219． ········································ （2分）22．解：延长PQ 交直线AB 于点H ，由题意得．由题意，得PH ⊥AB ，AB =30，∠P AH =26 .6°，∠PBH =45°，∠Q BH =33.7°， 在Rt △QBH 中，50.1cot ==∠QHBHQBH ，设QH =x ，BH =x 5.1， ············· （2分） 在Rt △PBH 中，∵∠PBH =45°，∴PH = BH =x 5.1， ······························· （2分） 在Rt △P AH 中，00.2cot ==∠PHAHPAH ，AH =2PH =x 3， ························ （2分） ∵AH –BH =AB ，∴305.13=-x x ，20=x ． ········································· （2分） ∴PQ =PH –QH =105.05.1==-x x x ． ·················································· （1分） 答：该电线杆PQ 的高度为10米． ···························································· （1分）23．证明：（1）∵EC EF AE ⋅=2，∴AEECEF AE =． ··········································· （1分） 又∵∠AEF =∠CEA ，∴△AEF ∽△CEA ． ····································· （2分） ∴∠EAF =∠ECA ， ··································································· （1分） ∵AD =AC ，∴∠ADC =∠ACD ， ·················································· （1分） ∵∠ACD =∠DCE +∠ECA =∠DCE +∠EAF ． ·································· （1分）（2）∵△AEF ∽△CEA ，∴∠AEC =∠ACB ． ··········································· （1分）∵DA =DB ，∴∠EAF =∠B ． ·························································· （1分） ∴△EAF ∽△CBA ． ···································································· （1分）∴ACEFBA AF =． ·········································································· （1分） ∵AC =AD ，∴ADEFBA AF =． ··························································· （1分） ∴EF AB AD AF ⋅=⋅． ······························································· （1分）24．解：（1）∵直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ， ∴A （–2，0）、B （0，1）．∴OA =2，OB =1． ······································· （2分） ∵CD //x 轴，∴∠OAB =∠CDA ，∵∠CDA =∠OCA ，∴∠OAB =∠OCA ．····· （1分） ∴tan ∠OAB =tan ∠OCA ， ·································································· （1分） ∴OCOA OA OB =，∴OC 221=， ······························································ （1分） ∴4=OC ，∴点C 的坐标为（0，4）． ················································ （1分） （2）∵CD //x 轴，∴BOBCAO CD =． ····························································· （1分） ∵BC =OC –OB=4–1=3,∴132=CD ，∴CD =6，∴点D （6，4）． ·············· （1分） 设二次函数的解析式为42++=bx ax y ， ············································· （1分）⎩⎨⎧++=+-=,46364,4240b a b a ………………（1分） ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.23,41b a ······························ （1分）∴这个二次函数的解析式是423412++-=x x y ． ····································· （1分）25．解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ECB ． ··················································· （1分）又∵AD =CE ，AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB ． ········································· （2分） ∴∠DCA ＝∠EBC ． ········································································ （1分） （2）过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．AE =AC –CE =x -10．x ACB CE CH 54cos =∠⋅=，∴EH =x 53． ············································ （1分） x x EH BC S CBE353102121=⨯⨯=⋅=∆． ················································ （1分） ∵AF//BC ．∴△AEF ∽△CEB ，∴2)(CEAE S S CEB AEF =∆， ······························· （1分） ∴22)10(3xx x y -=，∴x x x y 3006032+-=． ········································ （1分） 定义域为5550-≤<x ． ································································ （1分） （3）由于∠DFC =∠EBC <∠ABC , 所以∠DFC 不可能为直角．（i ）当∠DGF =90°时，∠EGC =90°，由∠GCE =∠GBC ，可得△GCE ∽△GBC ．∴10tan xCB CE GB CG GBC ===∠．···················································· （1分） 在Rt △EHB 中， x x xxBH EH GBC 4503541053tan -=-==∠．··················· （1分）∴xxx 450310-=，解得),(0舍去=x 或5=x ． ∴155300560532=+⨯-⨯=∆AEF S ． ·············································· （1分）（ii ）当∠GDF =90°时，∠BCG =90°，由△GCE ∽△GBC ，可得∠GEC =90°，∠CEB =90°， ················································· （1分）可得BE =6，CE =8，AE =2，EF =23，23=∆AEF S ．······························ （1分） 综上所述，如果△DFG 是直角三角形，△AEF 的面积为15或23．。