高中数学圆锥曲线压轴题集锦5一．解答题（共60小题）1．已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．（1）求双曲线C2的方程；（2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的范围．（3）试根据轨迹C2和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）．2．在平面直角坐标系中，若=（x，y+2），=（x，y﹣2），且|=8．（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不存在，说明理由．3．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．4．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且OC=1，OA=a+1（a＞1），点D在边OA上，满足OD=a．分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD．直线l：y=﹣x+b与椭圆弧相切，与OA交于点E．（1）求证：b2﹣a2=1；（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的方程．5．过点F（0，1）作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B，圆C：x2+（y+1）2=1（1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围．6．已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B 两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q 点坐标；如果不存在，说明理由．7．设椭圆=1（a＞b＞0）过点，且左焦点为（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足•=•，证明：点Q总在某定直线上．8．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．9．已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线C1的内切圆半径为．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；（2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．10．已知双曲线．（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）已知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记．求λ的取值范围；（3）已知点D，E，M的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．11．已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O，C1和C2有公共焦点F，点F在x 轴正半轴上，且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列．（Ⅰ）当C2的准线与C1右准线间的距离为15时，求C1及C2的方程；（Ⅱ）设过点F且斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，交C2于M，N两点．当|MN|=8时，求|PQ|的值．12．在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．13．如图，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；（ⅱ）求△AMN面积的最大值．14．如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．15．设P为椭圆上的一个点，过点P作椭圆的切线与⊙O：x2+y2=12相交于M，N两点，⊙O在M，N两点处的切线相交于点Q．（1）若点P坐标为，求直线MN的方程．（2）若P为椭圆上的一个动点，求点Q的轨迹方程．16．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB 的内接圆（点C为圆心）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设圆M的方程为（x﹣4﹣7cosθ）2+（y﹣7sinθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C 的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值和最小值．17．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．18．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明：++为定值，并求此定值．19．已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．20．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k 的值；若不存在，说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A、B两点．（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．22．设动点P到点A（﹣1，0）和B（1，0）的距离分别为d1和d2，∠APB=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=λ．（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定λ的范围，使，其中点O 为坐标原点．23．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．24．已知点D在定线段MN上，且|MN|=3，|DN|=1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，若（+λ）•（﹣λ）=0，且λ∈[2﹣，2+]，求直线l与直线MN夹角θ的取值范围．25．在等差数列{a n}中，a4S4=﹣14，S5﹣a5=﹣14，其中S n是数列{a n}的前n项之和，曲线C n 的方程是+=1，直线l的方程是y=x+3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）判断C n与l的位置关系；（3）当直线l与曲线C n相交于不同的两点A n，B n时，令M n=（|a n|+4）|A n B n|，求M n的最小值．（4）对于直线l和直线外的一点P，用“l上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线l的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的．若曲线C n与直线l不相交，试以类似的方式给出一条曲线C n与直线l间“距离”的定义，并依照给出的定义，在C n中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线l的“距离”．26．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线AF1的距离为．（I）求椭圆C的方程；（II）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（﹣1，0），交y轴于点M，若，求直线l的方程．27．在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣1，），以A、B为焦点的椭圆经过点C．（I）求椭圆的方程；（II）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；（III）若对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使，试求n的取值范围．28．如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B两点坐标为（x1，y1），（x2，y2），y1＞0，y2＜0，P是此抛物线的准线上的一点，O是坐标原点．（Ⅰ）求证：y1y2=﹣p2；（Ⅱ）直线PA、PF、PB的方向向量为（1，a）、（1，b）、（1，c），求证：实数a、b、c成等差数列；（Ⅲ）若．29．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．（1）求抛物线方程；（2）过焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求 A B的中点C到抛物线准线的距离．30．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量，满足，设圆C的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y=0．（1）证明线段AB是圆C的直径；（2）当圆C的圆心到直线x﹣2y=0的距离的最小值为时，求p的值．31．双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求Q点的坐标．32．已知椭圆C1：，抛物线C2：（y﹣m）2=2px（p＞0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点．（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（Ⅱ）是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．33．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．34．已知一列椭圆．n=1，2…．若椭圆C n上有一点P n，使P n到右准线l n的距离d n是{p n F n}与{P n G n}的等差中项，其中F n、G n分别是C n的左、右焦点．（I）试证：（n≥1）；（II）取，并用S n表示△P n F n G n的面积，试证：S1＜S2且S n＞S n+1（n≥3）．35．如图，以椭圆的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点F（c，0）（c＞b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连接OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．（1）求证c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，求证•=b2．36．如图，椭圆Q：（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．（1）求点P的轨迹H的方程．（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？37．如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．38．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．39．椭圆的中心是原点O，短轴长为，左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），相应的准线l与x 轴交于点A，且点F分的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若PF⊥QF，求直线PQ的方程；（Ⅲ）设（λ＞1），点Q关于x轴的对称点为Q′，求证：．40．若F1F2为双曲线﹣=1的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足=，=（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点N（2，），求双曲线方程；（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为B1，B2（B1在y轴正半轴上），求B2作直线AB与双曲线交于A B两点，求⊥时，直线AB的方程．41．已知直线l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．42．P，Q，M，N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．43．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|：|A1F1|=2：1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点P在直线l上运动，求∠F1PF2的最大值、44．设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．45．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足||=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足•=0，||≠0．（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明||=a+x；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2．若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．46．已知方向向量为v=（1，）的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点E（﹣2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足•=．cot∠MON≠0（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．47．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e．直线l：y=ex+a 与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设=λ．（Ⅰ）证明：λ=1﹣e2；（Ⅱ）若λ=，△MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．48．如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点．A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（Ⅲ）以M为圆心，4为半径作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP 与圆M的位置关系．49．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，焦点到渐近线的距离为1．（1）求双曲线的方程；（2）设直线y=kx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，求k的取值范围；（3）若另一条直线l经过点P（﹣2，0）及线段AB的中点，求直线l在y轴上的截距b0的取值范围．50．双曲线=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．求双曲线的离心率e 的取值范围．51．设直线ℓ与椭圆相交于A、B两点，ℓ又与双曲线x2﹣y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB．求直线ℓ的方程．52．如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．（I）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：（Ⅱ）设直线AB的方程是x﹣2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．53．（理科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点（3，﹣）且方向向量为的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又．（1）求直线l方程；（2）求椭圆C长轴长取值的范围．54．已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=﹣1相切，点C在l上．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为﹣的直线与曲线M相交于A，B两点．（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．55．设曲线C的方程是y=x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称；（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=﹣t且t≠0．56．已知抛物线y2=2x．（1）在抛物线上任取二点P1（x1，y1），P2（x2，y2），经过线段P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P3，证明△P1P2P3的面积为；（2）经过线段P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q1、Q2，试将△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积和用y1，y2表示出来；（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积．57．如图，已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0），点B是其下顶点，直线x+3y+6=0与椭圆C交于A，B两点（点A在x轴下方），且线段AB的中点E在直线y=x上．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：•为定值．58．如图，已知直线OP交椭圆C：+=1于点Q，其中O为坐标原点，点P的坐标为（2，1），=，若椭圆C不经过原点的弦AB被直线OP平分于点D，且直线AP，BP 与椭圆C的另一交点分别为M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）试研究直线MN与AB的位置关系，并证明你的结论．59．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）与直线x﹣y+1=0相切，椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点F重合，且离心率为，点M（a2，0）．（1）求抛物线C1与椭圆C2的方程；（2）若在椭圆C2上存在两点A，B使得=λ（λ∈[﹣2，﹣1]），求|+|的最小值．60．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点（m，0）（0＜m＜a）的直线与椭圆交于A，B两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上是否存在点Q，使得△ABQ为等边三角形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．高中数学组卷0060题5参考答案与试题解析一．解答题（共60小题）1．已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．（1）求双曲线C2的方程；（2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的范围．（3）试根据轨迹C2和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）．【分析】（1）设双曲线C2的方程为，则a2=4﹣1=3，再由a2+b2=c2得b2=1，由此能求出故C2的方程．（2）将代入得．由直线l与双曲线C2交于不同的两点得：，由此能求出k的取值范围．（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；当k≠0时，设线段AB的中点M（x0，y0），线段AB的中垂线方程为，令y=0，得，由此能求出m的范围．【解答】解：（1）设双曲线C2的方程为，则a2=4﹣1=3，再由a2+b2=c2得b2=1，故C2的方程为（2）将代入得由直线l与双曲线C2交于不同的两点得：∴且k2＜1…①A（x1，y1），B（x2，y2），则∴=又∵，得x1x2+y1y2＞2，∴即，解得：②，故k的取值范围为．（3）若x轴上存在点P（m，0），使△APB是以AB为底边的等腰三角形，求m的取值范围．解：显然，当k=0时，P点坐标为（0，0），即m=0；当k≠0时，设线段AB的中点M（x0，y0），由（2）知于是，线段AB的中垂线方程为，令y=0，得，由①知，∴，∴m∈R，且m≠0．综上所述，m∈R．【点评】本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．2．在平面直角坐标系中，若=（x，y+2），=（x，y﹣2），且|=8．（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不存在，说明理由．【分析】（1）因为，且．所以动点M到两个定点F1（0，﹣2），F2（0，2）的距离的和为8．由此能求出动点M（x，y）的轨迹C的方程．（2）若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．，所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），由，由于△=（18k2）﹣4（4+3k2）（﹣21）＞0恒成立．由韦达定理．因为，所以OAPB是平行四边形．由此能够导出存在直线，使得四边形OAPB为矩形．【解答】解：（1）因为，且．所以动点M到两个定点F1（0，﹣2），F2（0，2）的距离的和为8．所以轨迹C以F1（0，﹣2），F2（0，2）为焦点的椭圆，方程为．（2）为直线l过点（0，3）．若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．，所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）由，由于△=（18k2）﹣4（4+3k2）（﹣21）＞0恒成立．由韦达定理．因为，所以OAPB是平行四边形．若存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，则OA⊥OB，即，因为，，所以，所以（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，所以机，故存在直线，使得四边形OAPB为矩形．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．易错点是计算量大，容易出错．3．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x 轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为．（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，故k l=3，所以直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（3分）（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；（4分）当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于，所以|CM|=1．由，解得．故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（8分）（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），，又A（﹣1，0）则，，故．即t=﹣5．（10分）当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+5=0．则，，即，=．又由得，则．故t=．综上，t的值为定值，且t=﹣5．（14分）另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．由，得|AM|•|AN|=5．故．（14分）另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理得．（14分）【点评】（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况．一般是验证特殊，求解一般．（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．（3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解．这种方法通常叫做“设而不求”．4．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且OC=1，OA=a+1（a＞1），点D在边OA上，满足OD=a．分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD．直线l：y=﹣x+b与椭圆弧相切，与OA交于点E．（1）求证：b2﹣a2=1；（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的方程．【分析】（1）设椭圆的方程为．由得（1+a2）x2﹣2a2bx+a2（b2﹣1）=0．由于直线l与椭圆相切，知△=（﹣2a2b）2﹣4a2（1+a2）（b2﹣1）=0，由此能够证明b2﹣a2=1．（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），于是OB的中点为．因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，由此能求出直线l的方程．（3）由．因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为（x﹣x0）2+（y﹣r）2=r2（r＞0）．再由圆M在矩形及其内部和圆M与l相切，且圆M在l上方，能够求出面积最大的圆M的方程．【解答】证明：（1）题设椭圆的方程为．…（1分）由消去y得（1+a2）x2﹣2a2bx+a2（b2﹣1）=0．…（2分）由于直线l与椭圆相切，故△=（﹣2a2b）2﹣4a2（1+a2）（b2﹣1）=0，化简得b2﹣a2=1．①…（4分）解：（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），于是OB的中点为．…（5分）因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，即f（x），亦即2b﹣a=2．②…（6分）由①②解得，故直线l的方程为．…（8分）解：（3）由（2）知．因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为（x﹣x0）2+（y﹣r）2=r2（r＞0）．…（9分）因为圆M在矩形及其内部，所以④…（10分）圆M与l相切，且圆M在l上方，所以，即．…（12分）代入④得即．…（13分）所以圆M面积最大时，，这时，．故圆M面积最大时的方程为．…（15分）【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．本题综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．5．过点F（0，1）作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B，圆C：x2+（y+1）2=1（1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围．【分析】（1）先求抛物线过点B的切线方程，利用点B处的切线恰好与圆C相切及点B在抛物线即可求得点B坐标，从而可求直线方程；（2）由已知，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=kx+1，与x2=4y联立，再分别表示出各线段长，即可求得|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）由x2=4y，得，则过点B的切线方程为：由已知：点B处的切线恰好与圆C相切，∴，即点B坐标为，∴直线l的方程为：（Ⅱ）法一：由已知，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=kx+1，联立x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4∴x12+x22=16k2+8∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2=（﹣2﹣2k2）x1x2﹣4k（x1+x2）﹣6=﹣8k2+2≤2∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围是（﹣∞，2]法二：根据题意，连接AC、AB﹑EC﹑ED．设直线l的方程为：y=kx+1，联立x2=4y可得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4|AE|2=|AC|2﹣|EC|2=x12+（y1+1）2﹣1．同理，|BD|2=x22+（y2+1）2﹣1．又|AB|2=（y1+y2+2）2∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2=2x1x2+4（x1+x2）﹣（y12+y22）﹣2（y1+y2）+4=﹣8k2+2≤2．∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围是（﹣∞，2]【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点6．已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B 两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q 点坐标；如果不存在，说明理由．【分析】（1）由已知中圆C：（x+4）2+y2=4，点D（0，3），我们易求出CD的长，进而求出圆D的半径，求出A，B两点坐标后，可由tan∠APB=k BP得到结果．（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，我们可以求出对应的圆D的方程和A，B两点的坐标，进而求出∠APB正切的表达式（含参数r），求出其最值后，即可根据正切函数的单调性，求出∠APB的最大值；（3）假设存在点Q（b，0），根据∠AQB是定值，我们构造关于b的方程，若方程有解，则存在这样的点，若方程无实根，则不存在这样的点．【解答】解：（1）∵|CD|=5，∴圆D的半径r=5﹣2=3，此时A、B坐标分别为A（0，0）、B（0，6）∴tan∠APB=k BP=2（3分）（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，则（r+2）2=16+a2，A、B的坐标分别为（0，a ﹣r），（0，a+r）∴，。