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集合与函数练习题附答案

集合与函数综合练习
一、填空题:
1.设函数x x
x f =+-)11(
,则)(x f 的表达式为 2.函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数,则)5(+=x f y 的递增区间是 3. 函数f(x)=)24(log 122x x -+-的定义域为
4.已知集合}023|{2
=+-=x ax x A 至多有一个元素,则a 的取值范围 .
5.函数||2x x y +-=,单调递减区间为
6.构造一个满足下面三个条件的函数实例,
①函数在)1,(--∞上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值为0; .
7.=+34-3031-]2-[5
4-0.064)()(___________ ____; 8.已知)(x f =x x +1,则111(1)(2)()(3)()(4)()234
f f f f f f f ++++++= 。

9.已知函数()y f x =为奇函数,若(3)(2)1f f -=,(2)(3)f f ---=_______ 10.)(x f =21(0)2(0)
x x x x ⎧+≤⎨->⎩,若)(x f =10,则x = .
11.若f (x )是偶函数,其定义域为R 且在[0,+∞)上是减函数,则f (-
43)与f (a 2-a +1)的大小关系是____.
12.log 7[log 3(log 2x )]=0,则21-x 等于=
13.函数y=log 21(x 2-5x+17)的值域为 。

14.函数y=lg(ax+1)的定义域为(-∞,1),则a= 。

二、解答题:
15.已知集合A 的元素全为实数,且满足:若a A ∈,则11a A a
+∈-。

(1)若3a =-,求出A 中其它所有元素;
(2)0是不是集合A 中的元素?请你设计一个实数a A ∈,再求出A 中的所有元素?
16.已知函数[]5,5,22)(2
-∈++=x ax x x f .(1)求实数a 的范围,使)(x f y =在区间[]5,5-上是单调递增函数。

(2)求)(x f 的最小值。

17. 已知函数x x x f 21
2)(-=
(1) 若2)(=x f ,求x 的値;
(2) 若0)()2(2≥+t mf t f t
对于[]2,1∈t 恒成立,求实数m 的取値范围。

18. 已知函数)0()(2
3≠++=a cx bx ax x f ,当1-=x 时()f x 取得极值5,且11)1(-=f . (Ⅰ)求()f x 的单调区间和极值;
(Ⅱ)证明对任意12,x x )3,3(-∈,不等式32|)()(|21<-x f x f 恒成立.
19.设函数21()ax f x bx c
+=+是奇函数(,,a b c 都是整数,且(1)2f =,(2)3f <. (1)求,,a b c 的值; (2)()f x 在(,1]-∞-上的单调性如何?用单调性定义证明你的结论.
参考答案 1.x x
+-11
2.]2,7[--
[)2,0
=0或
89≥
a
5.]0,21[-和),21[+∞
6.
R x x y ∈=,2 7.1623
8.
(a 2一a +1)≤f (43

12.221
13.(-3,-∞)
15.解:(1)由,则,又由,得,
再由,得,而,得,
故中元素为.
(2) 不是的元素.若,则,
而当时,不存在,故0不是的元素.
取,可得.
16.解:(1)因为)(x f 是开口向上的二次函数,且对称轴为a x -=,为了使)(x f 在[]5,5-上是增函数,故5-≤-a ,即5≥a (5分)
(2)当5-≤-a ,即5≥a 时,)(x f 在[]5,5-上是增函数,所以a f x f 1027)5()(min -=-= 当55≤-<-a ,即55<≤-a 时,)(x f 在[]a --,5上是减函数,在[]5,a -上是增函数,所以
2min 2)()(a a f x f -=-=
当5>-a ,即5-<a 时,)(x f 在[]5,5-上是减函数,所以a f x f 1027)5()(min +==
综上可得
⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤--≥-=)5(,1027)55(,2)5(,1027)(2min a a a a a a x f
17.解答;(1)当0x π时,0)(=x f ;当0≥x 时,x x x f 212)(-=。

由条件可知
2212=-
x x ,即012222=-⋅-x x 。

解得212±=x 。

因为0φx ,所以)21(log 2+=x 。

(2)当[]2,1∈t 时,0)212()212(222≥-+-t t t t t m 。

即)12()12(42--≥-t t m ,因为0122φ-t ,所以
)12(2+-≥t m 。

因为[]2,1∈t ,所以
[]5,17)12(2--∈+-t 。

故m 的取值范围是[)+∞-,5。

18.答案:(Ⅰ))0()(23≠++=a cx bx ax x f
c bx ax x f ++='23)(2
由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒=+-=-+--=++⇒=-'=--=9310235110)1(5)1(11)1(c b a c b a c b a c b a f f f
因此,
x x x x f 93)(23--=,)3)(1(3)(-+='x x x f 当 ),3()1,(+∞--∞∈Y x 时,,当)3,1(-∈x 时,,
所以函数单调增区间为)1,(--∞,),3(+∞,单调减区间为)3,1(-.
在处取得极大值5,在3=x 处取得极小值–27 . (7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
93)(23--=x x x f 在)1,3(--上递增,在)3,1(-上递减, 所以,)3,3(-∈x 时,5)1()(=-≤f x f ,27)3()(-=±>f x f 所以,对任意)3,3(-∈恒有 32|)27(5||)()(|21=--<-x f x f .(12分)
19.答案:(1)⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=x x x f 241log ,log 3min )(=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤++x x x x x x 241224141log log 3,
log log log 3,log 3 3分 解x
x 241log log 3=+得4=x .又函数x
y 411log 3+=在),0(+∞内递减,x y 22log =在),0(+∞内
递增,所以当40<<x 时,x
x 241log log 3>+;当4≥x 时,x
x 241log log 3≤+. 4分 所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<=4,log 340,log )(412x x x x x f . 1分
(2)2)(<x f 等价于:⎩⎨⎧<<<2log ,402x x ①或⎪⎩⎪⎨⎧<+≥2log 3,441x x ②. 3分
解得:440><<x x 或,即2)(<x f 的解集为),4()4,0(+∞Y .3分
20.解:(1)由是奇函数,得对定义域内x 恒成立,则对对定义域内x 恒成立,即 . (或由定义域关于原点对称得)
又由①得代入②得,
又是整数,得.
(2)由(1)知,,当,在上单调递增,在上单调递减.下用定义证明之.
设,则=
,因为,,.
,故在上单调递增.。

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