• 有许多类型的控制系统，其组成可以是电气的、机 械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统运动 的模型却可以是相同的。 • 在研究一个控制系统时，首先要建立该控制系统的
数学模型。得到了描述系统运动的数学模型，就可
以采用数学分析的方法来研究该系统的运动规律。
通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种 类型系统的外部特征而抓住其内在的共同运动规律.
则系统的输入为
输出保持线性可加为
2.控制系统微分方程的建立
用解析法建立运动方程的步骤是：
①分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定 出待研究元件或系统的输入量和输出量； ②从输入端入手，依据各元件所遵循的物理、化学、生 物等规律，列写各自方程式；
③ 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，
根据拉氏变换的 基本定理
部 分 分 式 法
分母全部为单根 分母有重根
几个重要的拉氏变换对 f(t) F (s ) f(t) F(s)
2 2 s
s s2 2

( s a)2 2
sa ( s a)2 2
(t )
1(t )
1
1 s
sin t
cos t
e sin t
st
复变量 当t<0, f(t)=0

对于任何时间连续的时间函数来说，它与拉氏 变换之间保持唯一的对应关系。
F s
一一映射
f t
2.常用信号的拉氏变换
单位脉冲信号
f(t)
1/a
0 a
t
1 , 0t a f t a 0, t 0, t a
单位脉冲信号
duC (t ) 由（2）代入（1）得： RC uC (t ) ui (t ) dt
令T=RC 方程可简写为
线性定常系统的微分方程可表示为
为输出信号的各阶导数 为输入信号的各阶导数
线性定常系统
满足叠加定理
参数为常数
叠加定理
如果有 输入 x1(t) 输入 x2(t) 输出 y1(t) 输出 y2(t)
则
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aF1 (s) bF2 (s)
延迟定理
若 L[ f (t )] F ( s) 则 L[ f (t )] e s F ( s) 例 ：周期锯齿波信号如图所示，试求该信号的拉 氏变换。
解：第一周期信号
T f1 (t ) t T 1(t ) (t T ) 1(t T ) 2
卷积定理
若 L[ f1 (t )] F1 (s), L[ f 2 (t )] F2 ( s) 则
卷积
4. 拉氏变换的优点：
简化函数
简化运算
5. 拉氏反变换
拉氏变换的逆运算称为拉氏反变换。 拉氏变换： 已知 f ( t ) 求 F (s ) 求 f(t) 拉氏反变换： 已知 F (s)
微分定理
若初始条件为零
s 为微分算子
积分定理
若 L[ f (t )] F ( s) 则
若初始条件为零，则
1 为积分算子 s
初值定理
若 L[ f (t )] F ( s) 且在 t=0处有初值 f ( 0 ) 则
终值定理
若 L[ f (t )] F ( s) 且 f (∞) 存在，则
数学表达式
单位阶跃信号
数学表达式
单位斜坡信号
数学表达式
指数信号
数学表达式
f (t ) cost
正、余弦信号
数学表达式
f (t ) sin t
f (t ) cos t
3.拉氏变换的基本定理
线性定理
若函数分别有其拉氏变换：
L[ f1 (t )] F1 (s), L[ f 2 (t )] F2 (s)
2 s 1
1 s 1 s 0
1 1 3 b1 (2 s ) 1, c 3 2! s ( s 1) s 1 1 1 1 1 Y ( s) 3 2 s ( s 1) ( s 1) s 1 1 2 t t t y 1 t e te e 2
R ui C uc
依据：电学中的基尔霍夫定律
R ui C uc
uR (t ) uc (t ) ui (t )
即
Ri(t ) uc (t ) ui (t )
1 因为电容电流为 uC (t ) C
duC (t ) i (t ) C dt
(1)
i (t )dt 两边求导得
(2)
f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t 2 )
由延迟定理对于周期信号有
衰减定理
若 则 例：求函数 解： 的拉氏变换
L[ f (t )] F ( s)
微分定理
若 L[ f (t )] F ( s) 且 f(t) 的各阶导数存在， 则 f (t) 各阶导数的拉氏变换为：
线性化方程为
注意
• 本质非线性系统不可以作线性化。
• 不同的工作点，不同的线性化系数，有不同的
线性化方程。 • 多变量情况时，其线性化方法相似。
• 工作点邻域的线性化方程是增量方程，增量范围
过大时，将不满足线性化条件。
y f ( x1 , x2 ) 为连续可导的非线性函数
( x10 , x20 , y0 ) 为预定工作点，则其在预定工作
U D U D0 K ( 0 ) U 0 sin 0 ( 0 )
U D K ( 0 ) U 0 sin 0 ( )
线性化方程为 U D K
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [ 0 , 0 ]
微分方程 传递函数 频率特性 结构图
• 实验法 • 解析法
信号流图 状态空间表达式
• • • •
数学模型 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
线性系统
拉氏 变换 傅氏 变换
传递函数
微分方程
频率特性
§2.1
控制系统的微分方程
1.控制系统的微分方程
引例：由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路， 写出以ui为输入，uc为输出的系统关系方程。
非线性系统作线性化时的步骤：
近似线性化方程为
令
作变量替换得线性化方程
例：三相全桥整流调速装置输入量为控制角
输出量为整流电压UD ,二者之间的关系为

U D U 0 cos
试建立其线性化方程。 解：预定工作点为 [ 0 ,U D ] 0
K dU D0 d
0
U 0 sin 0
点附近的线性化方程为
y y0 k1 ( x1 x10 ) k2 ( x2 x20 )
f k1 x1
( x10 , x20 )
f k2 x2
( x10 , x20 )
§2.3
拉氏变换及其应用
1. 拉氏变换 f(t)F(s) 2. 拉氏变换的基本定理 3. 拉氏反变换 F(s) f(t) 4. 拉氏变换法求解微分方程
第二章 控制系统的数学描述方法
---控制系统的数学模型 目的
建立控制系统的数学模型，为课程的后续内 容提供必备的工具
内容
掌握建立物理系统数学模型的方法 掌握数学模型的相互转换 掌握数学模型的图解形式
引 言
数学模型：描述系统动态特性的数学表达式。 建立数学模型的目的：是分析和设计控制系统的
首要工作（或基础工作）。
y
(3)
3 y 3 y y 1, y(0) y(0) y(0) 0
解：两边取拉氏变换，代入初始条件得 1 ( s 3s 3s 1)Y ( s ) s b3 b2 b1 1 c Y (s) 3 3 2 s ( s 1) ( s 1) ( s 1) s 1 s
f
由牛顿第二定律： 合力 外力
Fi(t)外力
Fk(弹簧 的拉力)
粘性阻力
弹性阻力
m
Ff阻尼器 的阻力
虎克定律 : 弹簧弹力等于弹性系数与相对变 粘性摩擦定律 : 粘性摩擦力等于摩擦系数与 代入整理 形位移的乘积 相对速度的乘积
§2.2 非线性微分方程的线性化
部分非线性系统，在一定条件下可近似地视为线性系 统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学 模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。
标准形式
整理
微分方程
电学系统： 元件约束
三种基本线性元件电阻R、电容C和电感L
电学系统： 网络约束
基尔霍夫电压电流定律：
在电路的任一闭合回路中，各支路电压的代数和为零 流出（或流入）任意节点的各支路电流的代数和为零
例：考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路， 写出以 ui 为输入，u0 为输出的微分方程。
为什么要线性化
非线性系统的性质比线性系统要复杂得多
哪种非线性系统可以线性化
连续可导的非线性系统
如何进行线性化
使用小偏差法
除本质非线性系统之外，大部分非线性系统都可以在 工作点邻域线性化。
连续可导的非线性特性
本质非线性特性
小偏差理论
• 具有连续变化的非线性函数 y f ( x)
A[x0，y0]为预定工作点，则该非线性函数可以 线性化的条件是变量x偏离预定工作点很小。 在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰 勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所 得的线性化方程代替原有的非线性方程。
• 建立数学模型的方法
• 解析法（机理模型）：依据系统及元件各变量
之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的 数学关系式。