例 丙 34 17.0 3.4
4
3.570
3
平 吗
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21
背
Hamilton (比例加惯例) 方法------
景 1792年美国国会用于分配各州众议员名额
已知: m方人数分别为 p1, p2,… pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N.
记 qi=Npi /P, 称为第i方的份额(i =1,2, …m)
m
• 各方先分配qi的整数部分[qi], 总余额为 N N [qi ]
i 1
• 记ri =qi-[qi], 则第i 方的分配名额ni为
ni
[qi [qi
] 1, ri最大的N ], 其它
个
要 已知份额向量q=(q1, …, qm), 找一个整数 求 分配向量n=(n1, …, nm), 使n与q最接近.
i=1 103 10 114(+10.6%) 10.60 11
i=2 63 6 63
5.86 6
i=3 34 4 38(+11.8%) 3.54 3
总和 200 20 21520 20源自piqini
103 10.50 11
63 6.42 6
34 3.47 3
6 0.61 1
206 21 21
“公平”分配方 法 人数 席位
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义
p22
p12
该席给A
n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给B
定义
Qi
pi2 ni (ni 1)
,
i 1,2, 该席给Q值较大的一方
推广到m方 分配席位
计算
Qi
pi2 , ni (ni 1)
i 1,2
96.4,
Q2
632 67
94.5,
Q3
342 3 4
96.3
Q1最大，第20席给甲系
第21席
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法
分配结果 甲系11席, 乙系6席, 丙系4席 公平吗？
模型的公理化研究
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的公理 (1974) 已知p1, p2,… pm , P, N
因学生转系, 三系人数为103, 63, 34, 如何分配20席?
若代表会议增加1席，如何分配21席?
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配
比 例
人数 （%） 比例 结果
比例
结果
对 丙
加 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 系
惯 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 公
A方 p1 n1 B方 p2 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
rA (n1, n2 )
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席, 若增加1席, 问应分给A, 还是B?
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平.
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
份额qi=Npi /P, 分配名额ni = ni (N, p1, ,… pm ) 1) [qi] ni [qi]+1 (i=1,2, …m) ~ 公平分配性 2) ni (N, p1, ,… pm ) ni (N+1, p1, ,… pm) ~名额单调性
3) 若pi< pi' , pj= pj '(ji), 则ni (N, p1,… ) ni' (N, p1',…)
第二章 初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 动物的身长和体重 2.7 实物交换 2.8 核军备竞赛 2.9 启帆远航 2.10 量纲分析与无量纲化
2.1 公平的席位分配
问 三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会 题 议共20席，按比例分配，三个系分别为10, 6, 4席.
~人口单调性 4) ni, nj的转让不能使得它们更接近qi ,qj ~ 接近份额性
模型的公理化研究
• “比例加惯例”方法满足公理 1，但不满足公理2. • Q值方法满足公理2, 但不满足公理1 .
pi
qi ni
i=1 952 95.2 94
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
,m
该席给Q值最大的一方 Q 值方法 (Huntington)
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
1032 1011
Hamilton方法的不公平性
1. p1, p2,… pm不变, N的增加会使某个ni减少 (上例).
2. N不变, pi 比pj的增长率大, 会使 ni减少 nj增加(例1).
3. p1, p2,… pm不变, m增加1, N的增加会使某个ni增加
而某个ni减少(例2).
例1
例2
pi ni
pi
qi ni
