第二章系统的数学模型2．3图中三图分别表示三个机械系统。

求出他们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。

解：（1）、对图（a）所示系统，有牛顿定律有c1(x i-x0)-c2x0=m x0即m x0+(c1-c2) x0= c1x i（2）、对图（b）所示系统，引入一中间变量x，并有牛顿定律有(x i-x)k1=c(x-x0)c(x-x0)=k2x0消除中间变量有c(k1+k2)x0+k1k2x0=ck1x i（3）、对图（c）所示系统，有牛顿定律有c(x i-x0)+ k1 (x i-x)= k2x0即c x0+(k1+k2)x0=c x i+ k1x i2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。

解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有⎰+=idt C i R u o 22111i R u u o i =-dt i i C u u o i ⎰-=-)(111消除中间变量，并化简有ii i oo o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R uR C 12211221122112211)(1)1(+++=++++（2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有dt i C i R u u o i ⎰++=111i R dt i C u o 221+=⎰消除中间变量，并化简有i i o o u C u R u C C uR R 2221211)11()(+=+++2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。

图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。

解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：图 2.5M=J θ＋C m θ＋Rk(R θ－x) (1)K(R θ－x)=m x ＋c x (2)消除中间变量x ，即可得到系统动力学方程mJ θ（4）＋（mC m ＋cJ ）θ＋(R 2km ＋C m C ＋kJ) θ＋k(cR 2＋C m ) θ=m M ＋c M ＋k M 2.6 已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s) (a) y •••+15y ••+50y •+500y=r ••+2r (b) 5y ••+25y •=0.5r •(c) y ••+25y=0.5r (d) y ••+3y •+6y+4ydt ⎰=4r解: 根据传递函数的定义, 求系统的传递函数, 只需将其动力方程两边分别在零初始条件进行拉式变换, 然后求Y(s)/R(s). (a) 3s Y(s) + 152s Y(s) + 50sY(s) + 500 Y(s)=2s R(s) + 2R(s)∴ Y(s)/R(s) = 23221550500s s s s ++++ (b) 52s Y(s) + 25sY(s) = 0.5sR(s)∴ Y(s)/R(s) =20.5525ss s+ (c) 2s Y(s) + 25Y(s) = 0.5R(s)∴ Y(s)/R(s) =20.525s + (d) 2s Y(s) + 3sY(s) + 6 Y(s) + 41s Y(s) = 4R(s)∴ Y(s)/R(s) = 324364ss s s +++ 2.7 若某线性定常系统在单位阶跃输入作用下，其输出为y(t)=1－22t t e e --+。

试求系统的传递函数。

解：由传递函数的定义有()i X s =1sY(s) =11221s s s -+++ ∴ Y(s)/()i X s = 2226232s s s s ++++2.8 输出y （t ）与输入x （t ）的关系为y （t ）=2x （t ）+0.5x 3（t ） （a ）求当工作点分别为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值。

（b ）在这些工作点处作小偏差线性化的模型，并以对工作点的偏差来定义x 和y ，写出新的线性化模型。

解：（a ）将x 0=0, x 0=1, x 0=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x 3(t)中，即得当工作点为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值分别为y 0=0,y 0=2.5,y 0=8(b) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点（x 0,y 0）附近,将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得Y 0+△y=2x 0+0.5x 03+(2+1.5x 2)∣x=x0·△x△y=（2+1.5x 2）∣x=x0△x若令x=△x,y=△y 有 y=（2+1.5x 02）x 当工作点为x 0=0时,y=（2+1.5x 02）x=2x 当工作点为x 0=1时,y=（2+1.5x 02）x=3.5x 当工作点为x 0=2时,y=（2+1.5x 02）x=8x 2.9 已知滑阀节流口流量方程式ρpcwx Q v2=,，式中，Q 为通过节流阀流口的流量；P 为节流阀流口的前后油压差；v x 为节流阀的位移量；c 为流量系数；w 为节流口面积梯度；ρ为油密度。

试以Q 与P 为变量（即将Q 作为P 的函数）将节流阀流量方程线性化。

解：利用小偏差线性化的概念，将函数),(p x F Q v =在预定工作点),(οοp x F v 处按泰勒级数展开为：),(p x F Q v ==),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(+…消除高阶项，有：),(p x F Q v ==),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+ p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(∴ ),(),(00p x F p x F Q v v -=∆=),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(-),(οοp x F v=v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(若令=1K )(00,)(p x x Fv v∂∂，=2K )(00,)(p x p F v ∂∂，则有：p K x K Q v ∆*+∆*=∆21 若上式改写为增量方程的形式为： p K x K Q v *+*=212.10试分析当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节，微分环节，积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。

解：由于惯性环节、微分环节，积分环节的传递函数分别是G(s)= 1KTs +，而闭环传递函数为G(s)=Ts ，G(s)=Ks，而闭环函数为G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•，则（1） 当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•=111KTs K Ts +±+= 1KTs K ++（2）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为微分环节时， G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•= 1TsTs±（3）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为积分环节时，G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•= 1Ks K s±=Ks K ±2.11证明图（题2.11）与图（题2.4（a ））所示系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同的形式）。

解：对题2.4（a ）系统，可列出相应的方程。

()()()22110111121()3o i o i u R i idt C u u R i u u i i dt C ⎧=+⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎩⎰⎰对以上三式分别做Laplace 变换，并注意到初始条件为零，即 (0)(0)0I I •== 11(0)(0)0I I •== 则()()()()()2()2()22()()11()()1()()()111()456o i o S i o I s U s R I s R I s C s C s U s U s R I I s I s U s U s C s C s ⎧=+=+⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎩11(5)C s⨯，得()1()()1()111[]7i o S R U s U s I C s C s-= 1(6)R ⨯，得()1()11()()1()11[]8S i o S R I R R U s U s I C s C s-=- (7)(8)+，得11()()()111()[]i o S R R U s U s I C s C s+-= 即111()()()()1111111i o R C s R U s U s I s I s C s R C s R C s -=⨯=++ 则()1()()()1191i o R U s U s I s R C s=++将（4）式中的()o U s 带入（9）式1()2()()21112()2111()11()1i R U s R I s I s C s R C sR R I s C s R C s=+++=+++再用（4）式与上式相比消去()I s ，即得电系统的传递函数为2()()2()1()2()21122122111()1()1111o i R I s U s C s G s R U s R I s C s R C sR C s R R C s R C s+==++++=+++而本题中，引入中间变量x ，依动力学知识有22111()()()()i o i o i o o x x k x x c x x c x x c k x••••••⎧-+-=-⎪⎨⎪-=⎩对上二式分别进行拉氏变换有2()()2()()()()11()()11[][][]i o i o o o k X s X s sc X s X s X s X s sc c sX s X s k c s -+-=-⎧⎪⎨=⎪+⎩ 消除()X s 有22()22()1121()22211111o i k c X s k c ssG s k c s k c X s k c s c c k c s s sk ++===++++++ 比较两系统的传递函数有 122k C ⇔111k C ⇔22c R ⇔ 11c R ⇔2.12求图所示两系统的传递函数。

解：（1）由图（a）中系统，可得动力学方程为(x i(t)-x o(t))k=m x o(t)+cox(t)作Laplace变换，得[X i(s)-X o(t)]k=ms2Xo(s)+ csX o (s) 则有G（s）= X o (s)/ X i(s)=k/( ms2+cs+k)(2) 由图（b）中系统,设i为电网络的电流，可得方程为u i=Ri+L didt+1cidt⎰u o=1cidt ⎰作Laplace变换，得U i(s)=RI(s)+LsI(s)+ 1csI(s)U o(s)= 1csI(s)消除中间变量有G（s）= U o(s)/ U i(s)=211LCs RCs++ 2.13求图（题2、13）所示系统的传递函数。