P 1, P 2, P 3 P n
5.物理性质不同的系统可以有相同的传递函数。
6.传递函数与单位脉冲响应
• 单位脉冲响应：零初始条件下，单位脉冲输入下 的输出； • 任意输入函数下的时域响应= 输入函数与单位脉冲响应函数的卷积； • 系统传递函数为单位脉冲响应的象函数；
三. 典型环节传递函数 典型环节：物理系统由各种元件组成，但若考
划分环节
恒温箱自动控制系统
由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。 系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用 与相互制约的关系。
t u2 u ua n v u t
写出每个环节(元件) 运动方程式 找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反 映这种内在联系的物理规律。列写运动方程的关 键要了解元件或系统所属学科领域的有关规律， 而不是数学本身。 例如：机械运动——牛顿定理、能量守恒定理 电学——欧姆定理、基尔霍夫定律 热学——传热定理、热平衡定律 数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化， 考虑忽略一些次要因素；参数时变）。 注：数学模型的准确性和简化的矛盾。
（5）.方框图的串联、并联、反馈连接。
X1(S) X3(S) X2(S) G2(S) G1(S) X3(S) G1(S) X1(S) G2(S) + X2(S) + X4(S) X2(S)
X1(S) + E(S) G1(S)
Y(S)
G2(S)
3．方框图的运算 (1)串联连接的传递函数
X 2 ( S ) G2 ( S ) X 3 ( S ) X 3 (S ) G1 (S ) X 1 (S ) G(S) G1 (S)G 2 (S)
元件输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏 变换的比，称为该系统或元件的传递函数。
例 1 ，试求R L C网络的传递函数 解：
2 由前面知 （LCP RCP 1）U （ U （ ２ t） １ t） 求该微分方程在零初始条件下的拉氏变换有 （LCP2 RCS 1）U ｓ U ｓ
d 2 d dM L JLa 2 （JRa fLa） （fRa C M C e） C M U a La Ra M L dt dt dt 若以为输出量，则根据关系 d 可得相应运动方程。 dt
§2-2 非线性运动方程的线性化
• 定义：将非线性微分方程在一定的条件 下转化为线性微分方程的方法。 • 小偏差线性化： 基本假设——变量偏离其预期工作点的 偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差 线性化。
X1(S)
+
(S) G1(S)
X2(S ) G1 ( S ) ( S )
(1) (2) (3)
( S ) X1 (S )-Y(S ) Y(S ) G 2 (S )X2 (S )
(2)代入(1) X2 (S ) G1 ( S )[X1 (S )-Y(S)] (4) (3)代入(4) X2 (S ) G1 ( S )[X1 (S )-G 2 (S )X2 (S )] X 2 (S ) G1 ( S )X1 (S )-G1 ( S )G 2 (S )X2 (S ) X2 (S ) G1 ( S ) (S) X1 (S ) 1 G1 ( S )G 2 (S )
( S ) R( S ) Y ( S )
Y ( S ) H ( S )C ( S ) C ( S ) G( S ) X 2 ( S ) X 2 (S) X1(S) F(S) G1 ( S )G 2 ( S ) G2 ( S ) C(S) R( S ) F (S) 1 G1 ( S )G 2 ( S ) H ( S ) 1 G1 ( S )G 2 ( S ) H ( S )
(1)若 F (S ) 0 则 C (S ) G1 ( S )G2 ( S )
R( S ) 1 G1 ( S )G2 ( S ) H ( S )
定义： C(S)/R(S)为系统输出对于输入信号的闭 环传函，记为 ( S ) ，即
( S ) C (S ) G1 ( S )G2 ( S ) R( S ) 1 G1 ( S )G2 ( S ) H ( S )
(1).信号线:带箭头的直线,箭头表示信号方向； (2).相加点(比较点） X1(S) E(S) X2(S) E(S) X1 (S) - X 2 (S) ； (3). 分支点 : 信号分出的一点 , 称为分支点 , 通过分 支点的信号都是相同的； X(S) X(S)
X(S)
(4).方框:对信号进行的数学变换；
X1(S)
X3(S) X2(S) G2(S) G1(S)
结论：二环节串联传递函数等于二传函之积。 推广：N环节串联，传递函数等于N个环节传 函之积。
(2)并联连接的传递函数
X3(S) G1(S) + X2(S)
X1(S)
G2(S)
+
X4(S)
X 2 (S) X 3 (S ) X 4 (S ) G(S) G1 (S ) G2 (S ) X1 (S) X 1 (S )
( b0 p
b1 p
m 1
bm 1 p
bm ) x1 ( t )
求拉式变换。
则有： m1 b b0S m b S X 2 (S ) m 1 G S X1(S ) S n a S n1 a S a n 1 n1
定义
传递函数： 初始条件为 零时，线性定常系统或
3.传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母 多项式的各项系数均为实数， ｎ ｍ。比微分 方程简单。 4.传递函数写成
(S-Z１)(S Z２)......(S Zm ) G(S) k (S-P １)(S P ２)......( S P n)
的形式，则 Z1 , Z 2 , Z 3 Z m 和 为G(S)的零点和极点。
根据基尔霍夫定律，直流电动机电枢回路的 运动方程为： La di R ai E Ua dt
而电动机的反电动势与成正比，即E Ce 当电动机空载时，M L 0，J d M f dt
电枢电流i在恒定磁场中产生的电磁力矩为M CM i 消去中间变量得：
d 2 d JL a 2 （JR a fL a） （fR a CM Ce） CM U a dt dt 当电动机输出轴带负载 时，M L 0，则由牛顿定律有 J d M - f - M L dt
２ １
U２ｓ 1 Gｓ U１ｓ LCS 2 RCS 1
二. 传递函数注释
1 .线性定常系统或元件的运动方程与传递 函数一一对应，它们是在不同域对同一 系统或元件的描述。 2 .传递函数是表征线性定常系统或元件自 身的固有特性，它与其输入信号的形式 无关 ，但和输入信号的作用位置及输出 信号的取出位置有关。
线性定常系统的微分方程一般表达式为
设描述系统的微分方程 为: (p n a0 p m n 1 a1 p n2 a n 1 p a n ) x 2 ( t )
( b0 p
b1 p
m 1
bm 1 p bm ) x1 ( t )
其中，
x2(t )为输出量， x1(t )为输入量
例1
设有由电感L，电容C和电阻R组
成的电路，如图所示.试求出以输出电 压Uo(t)为输出变量和以输入电压Ui(t)为输 入变量的运动方程。
R L
Ui(t) i(t)
C
Uo(t)
2 d Uo dUo LC RC Uo Ui 2 dt dt
例2， 如图所示为一弹簧阻尼系统，图中质量为m的物体受到外力 作用产生位移Y，求该系统的运动方程 解：
本章主要内容
• 2-1 • 2-2 • 2-3 • 2-4 • 2-5 • 2-6 • 2-7 控制系统微分方程的建立 非线性方程的线性化 拉氏变换及反变换 传递函数与典型环节的传递函数 典型环节的方框图 控制系统的传递函数 控制系统方框图及其简化
§2-1 控制系统微分方程的建立
• 步骤 划分环节 写出每个环节(元件) 运动方程式 消去中间变量 写成标准形式
第二章 控制系统的数学模型
• 数学模型 是描述系统中各变量间关系的数学形式， 是分析和设计系统的基础。
•数学模型的形式
时间域： 微分方程
差分方程
状态方程
脉冲响应
频率域： 传递函数
频率响应
•各种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 传递函数 变换 微分方程
傅氏
变换
频率特性
• 建立数学模型的方法 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理或化学规律列写出相应的数学关 系式，建立模型。 实验法：人为地对系统施加某种测试信号， 记录其输出响应，并用适当的数学模型进 行逼近。这种方法也称为系统辨识。
§ 2-3 拉氏变换及反变换
一．拉氏变换定义 二．典型函数的拉氏变换 三．拉氏变换的性质 四．拉氏反变换
1. 只含不同单极点 2. 含共轭复极点 3. 含多重极点
五．用拉氏变换求解常系数线性微分方程
§2-4 传递函数与 典型环节的传递函数
一. 传递函数的定义
设描述系统的微分方程 为: (p n a0 p m n 1 a1 p n2 a n 1 p a n ) x2 (t )
察其数学模型，却可划分成为数不多的几种基 本类型。 1. 比例环节 2. 惯性环节 3. 积分环节 4. 振荡环节 5. 微分环节 6. 纯滞后环节
§2-5 典型环节的方框图
1.定义:每个环节的功能和信号流向的图解表示
X 2 (S) G(S)X1 (S)
X1(S)
G(S)
X2(S)
2.常用符号及术语
几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替 工作点附近的曲线。 说明： A.线性化时各自变量在工作点处必须有各阶导 数或偏导数存在 , 如：继电器特性，导数不存 在，本质非线性； B.必须明确工作点的参数； C.如果非线性运动方程较接近线性时，则线性 化运动方程对于变量的增量在较大范围适用， 反之，只能适用于变量的微小变化。