第一章习题答案1-1某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。

计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。

检验员每错检一件，工厂损失2元。

现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。

为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员21x x ；（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f (X )=8*4*x 1+8*3*x 2+2（8*25*+8*15*） =40x 1+36x 2（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X )=40x 1+36x 2X ∈R 3·已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。

欲选择一组设计变量T T n D dx x x ][][2321==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。

试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下 解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：f (X )=322124x x rx π（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X )=322124x x rx πX ∈R 3·[]τπ-+312218)21(x Fx x x []λ-413328Gx x Fx 某厂生产一个容积为8000cm 3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。

解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡h r x x21高底面半径,表面积为目标函数，即：min f (X )=πx 12+2πx 1x 2考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：min f (X )=πx 12+2πx 1x 2X =[x 1,x 2]T∈R 2π要建造一个容积为1500m 3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。

基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。

现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。

解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡高宽长321x x x ；（2）建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数，即：f (X )=8(x 1x 3+x 2x 3)+6x 1x 2+12x 1x 2（3）建立数学模型的约束函数；1）仓库的容积为1500m 3。

即：1500-x 1x 2x 3=02）仓库宽度为高度的两倍。

即：x 2-2x 3=03）各变量取值应大于0，即： x 1>0,x 2.>0.，则-x 1≤0，-x 2≤0（4）本问题的最优化设计数学模型：min f (X )=8(x 1x 3+x 2x 3)+18x 1x 2X ∈R 3·绘出约束条件：82221≤+x x ；82221≤+-x x ；421≤x x 所确定的可行域1-6试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：1[132]T =X ;2[234]T =X ;3[414]T =X 。

第二章习题答案2-1请作示意图解释：(1)()()()k k k k α+=+X X S 的几何意义。

2-2已知两向量12[1220],[2021]T T P P =-=,求该两向量之间的夹角θ。

2-3求四维空间内两点)2,1,3,1(-和)0,5,6,2(之间的距离。

2-4计算二元函数321121()56f x x x x =-+-X 在(0)[11]T =X 处，沿方向[12]T =-S 的方向导数(0)'()s f X 和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()f ∇X 。

2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为 求：(1)以一定的比例尺画出当目标函数依次为()1234f =X 、、、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。

(2)找出图上的无约束最优解1*X 和对应的函数值1()f *X ，约束最优解2*X 和2()f *X ； (3)若加入一个等式约束条件：求此时的最优解3*X ，3()f *X 。

解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X 1OX 2。

其中的同心圆是目标函数依次为f (X )=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。

由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：X 1*＝[3，4]T函数值f (X 1*)=0。

而约束最优解应在由约束线g 1(X)=0，g 2(X)=0，g 3(X)=0，g 4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线g 1(X)=0与某一等值线的一个切点X 2*，可以联立方程：⎩⎨⎧=+-=-+01052121x x x x ，解得X 2*=[2，3]。

函数值f (X 2*)=(2-3)2+(3-4)2=2。

加入等式约束条件，则X 3*为可行域上为h 1(X )=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：⎩⎨⎧=-=-+0052121x x x x ，解得X 3*=[5/2，5/2]。

函数值f (X 3*)=(5/2-3)2+(5/2-4)2=。

2-6试证明在(1,1)点处函数522)(1222122141+-++-=x x x x x x f X 具有极小值。

证明：求驻点：2244)(121311-+-=∂∂x x x x x X f ，221222)(x x x X f +-=∂∂ 0)(0)(21=∂∂=∂∂x X f x X f ，由，4)(]11[**==x f x T ，极值得：驻点 H (X )是正定的，所以驻点必定是极小点。

故在(1,1)点处函数)(X f 具有极小值。

2-7求函数221212()32210f x x x x =+--+X 的极值点，并判断其极值的性质。

解：26)(11-=∂∂x x X f ，14)(22-=∂∂x x X f 0)(0)(21=∂∂=∂∂x X f x X f ，由，24/229)(]4/13/1[**==x f x T ，极值得：极值点 H (X )是正定的，所以，)(X f 为凸函数。

2-8试判断函数2212121()221f x x x x x =+-++X 的凸性。

解：124)(211+-=∂∂x x x X f ，12222)(x x x X f -=∂∂ H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。

2-9试用向量及矩阵形式表示221212()10460f x x x x =+--+X 并证明它在12{,,1,2}i x x x i =-∞<<∞=D 上是一个凸函数。

解：211210)(x x x X f -+-=∂∂，12224)(x x x X f -+-=∂∂ H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。

2-10现已获得优化问题的一个数值解[1.000,4.900]T =X ,试判定该解是否上述问题的最优解。

第三章习题答案3-1函数983)(3+-=x x f X ，当初始点分别为00=x 及8.10=x 时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初始步长1.00=T 。

解：当00=x 时（1）取1.0,0,1.0210=====T A A T TS A X X 2)0(+==比较21F F 、，因21F F >，所以应作前进搜索。

⑵步长加倍：3.021,2.0222=+=+===T A A T TS A X X 2)0(+==再比较21F F 、，因21F F >，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的1A 点。

所以：1.02.03.021=-=-=T A A 。

(3)步长加倍：7.04.03.0,4.0222=+=+===T A A T TS A X X 2)0(+==429.4)()(2)0(22=+==S X A f A F F .比较21F F 、，因21F F >，所以还应再向前搜索,3.04.07.021=-=-=T A A 。

(4)步长加倍：5.1,8.0222=+===T A A T TS A X X 2)0(+==125.7)()(2)0(22=+==S X A f A F F .比较21F F 、，因21F F <。

已找到具有“高－低－高”特征的区间 即：3.011==A α时，681.6)(1=αF7.022=-=T A α时，429.4)(2=αF 5.123==A α时，125.7)(3=αF 。

所以，)()()(321αααF F F <>，单峰区间为：5.1,3.02311======A B A A αα。

当8.10=x 时同理可得：3.0,5.12311-===-===A B A A αα3-2用黄金分割法求函数ααα2)(2+=F 在区间[35]-中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于。

解：（1）在初始区间[a,b]＝[-3，5]中取计算点并计算函数值（2）比较函数值，缩短搜索区间因有f 1≤f 2，则115136.0)(;944.1)2(2)2(====ααf f b（3）判断迭代终止条件b －a ＞ε不满足迭代终止条件，比较函数值f 1、f 2继续缩短区间。

将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。

表黄金分割法的搜索过程3-3用二次插值法求函数3728)(23+--=ααααF 的最优解。

已知搜区间为[02]，选代精度01.0=ε。

解：采用Matlab 编程计算得：0.6207α=3-4函数2122212142)(x x x x x x f -++-=X ，取初始点为(0)[22]T =X ，规定沿)0(X 点的负梯度方向进行一次一维优化搜索，选代精度:6510,10--==f x εε。

(1)用进退法确定一维优化搜索区间；(2)用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值； (3)用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；(4)上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？ 解：最优点T ]20[*=X ,最优值4)(*-=X f二次插值法更快3-5求2)2)(1()(-+=αααF 的极小点，选代精度1.0,1.0==f x εε。