可见
e At Pe At P 1 Pdiag(e1t ent )P 1
(4.8) (4.9)
将上式展开, e At 的每个元素都是 e1t , , ent 的线 性组合，所以可写成矩阵多项式:
n
e At Ri e it R1e 1t Rn e nt i 1
所以
x(t) e At x(0) [R1e1t Rnent ]x(0)
首先讨论线性系统 x Ax 的平衡状态。由 于平衡状态为 Axe 0 ，因此，当A为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态 xe 0 ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，可能有一个平衡状态， 也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以 由平衡方程解得。下面举例说明。
例4.1 求下列非线性系统的平衡状态
当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定的；
2 ） 若 i ， i 中 有 一 个 或 者 几 个 为 正 ， 则 有 lim y(t) ，因此，当特征根中有一个或者几
t
个为正实部时，系统是不稳定的；
3）若 i 中有一个或者几个为零,而其它i ， i
均为负，则有
lim
t
y(t )
为常数。若
(4.5)
设特征方程(4.5)有k个实根 i ，r对共轭复 根 i jdi ，则系统的脉冲响应为:
k
r
y(t) Ci e it e it ( Ai cos di t Bi sin di t)
i 1
i 1
(4.6)
从上式可以看出：
1）若
i
， i 均为负实部，则有
lim
t
y(t)
0
，因此，
（优选）稳定性定义与稳定性 条件
A
nm
ai2j j 1 i1
(4.3)
4.1.2 平衡状态
系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系
统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的， 这样的状态称为系统的平衡状态。
根据平衡状态的定义可知,连续系统 x f (x)的平衡状 态 xe 是满足平衡方程 x 0 即 f (xe) 0的系统状态。离散 系统 x(k 1) f (x(k)) 的平衡状态，是对所有的k，都满足 平衡方程 xe f (xe, k) 的系统状态。
4. 不稳定
定义：如果对于某一实数 0 ，不论 取多 小，由 s( ) 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越 出 s(，) 则称平衡状态为不稳定.
上述定义对于离散系统也是适用的，只是 将连续时间t理解为离散时间k。
注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括
参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后 的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的 零输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定 性。
1. SISO线性定常离散系统稳定性条件
x(t)趋于常值或者为正弦波，系统是李雅普诺
夫意义下稳定的，或者称为临界稳定的。
当A具有重特征值时,x(t)含有 tet , t 2et , 诸 项，稳定性结论同上。
结论：MIMO线性定常连续系统稳定的
充分必要条件是，系统矩阵A的全部特征 值具有负实部，或者说都位于复平面左 半部。
4.1.5 线性定常离散系统的稳 定性
结论：线性定常连续系统稳定的充分必要条
件是，系统的全部特征根或闭环极点都具有负 实部，或者说都位于复平面左半部。
2. MIMO线性定常连续系统稳定的条件
描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：
x Ax Bu
（4.7）
设A有相异特征值 1,, n ，则存在非奇异线性变
换 x Px ，使 A 为对角矩阵，即:
4.1.4 线性定常连续系统的稳定性条件
1. SISO线性定常连续系统稳定的条件
设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为:
an y(n) an1y(n1) a1y a0 y bmu(m) b1u b0u
(4.4) 则系统的特征方程为:
D(s) an s n an1s n1 a1s a0 0
x
2
x1 x1 x1 x2
x23
解 由平衡状态定义，平衡状态 xe [x1e x2e ]T 应
满足:
x1e 0
x1e
x2e
x
3 2e
0
得非线性系统有三个平衡状态：
xe1 0 0T , xe2 0 1T , xe3 0 1T .
4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义
1.稳定
定义:如果对于任意给定的每个实数 0 ,都 对应存在着另一实数 (,t0) 0 ,使得从满足不等 式 x0 xe (,t0 ) 的任意初态 x0 出发的系统响 应,在所有的时间内都满足 x xe 则称系统 的平衡状态 xe 是稳定的.若 与 t0 的选取无 关,则称平衡状态 xe 是一致稳定的.
A P 1 AP diag(1 n )
非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:
x(t) e At x(0) diag(e 1t e nt )x(0)
由于 x P1x ，x(0) P 1x(0) ，所以，原状态方程的 零输入解为:
x(t) Pe At P 1 x(0) e At x(0)
i 中有一个
或者几个为零，而其它 i 、 i 均为负，则y(t)
的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中
有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部
时，系统是一种临界情况，称为临界稳定的。
临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在
工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，所以，临界稳定在工Fra bibliotek上是不稳定的。
(4.10)
从上式可见，当A的所有特征值位于复平面左
半平面，即 Re(i ) 0 ，i 1,, n ，则对任意
x(0)，有 lim x(t) 0 ，系统渐进稳定。只要有一 t
个特征值的实部大于零，对于
x(0)
0
，lim t
x(t)
，
系统不稳定。当有特征值的实部等于零，而其
它特征值的实部小于零，则随着时间的增加，
2.渐近稳定
定义：若平衡状态 xe 是李雅普诺夫意义下稳定
的，并且当 t 时，x(t) xe
,即 lim t
x(t)
xe
0
，
则称平衡状态是渐进稳定的。
3. 大范围（渐近）稳定
定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的，
则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统 总是渐进稳定的，则称系统是大范围渐进稳定 的。