( x)dx d( x) ——凑微分
微积分
③凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化 f ( x)dx
凑微分法的基本思路：
与基本积分公式相比较，将不同的部分—— 中间变量和积分变量——变成相同
步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量
例1 求 sin 2xdx.
微积分
一、第一类换元法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
[1 sin 2x C] cos 2x 说明结果正确
2
微积分
将上例的解法一般化：
(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1 2x 33 1 2x 13 C.
12
12
微积分
例12
求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1
1 cos x
cos x1 cos
x
dx
1 cos x 1 cos2 x
dx
1 cos x sin2 x
dx
1 sin 2
x
dx
1 sin 2
注意：分子拆项是常用的技巧
微积分
例8
求
x2
1 8x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
1
( x 4)2
dx 9
1 32
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
微积分
例9
求
1
1 e
x
dx
.
解
1
1 e
x
dx
1
ex 1
ex
e
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
ex
1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
微积分
例11 求
1 2x 3
dx. 2x 1
原式 2x 3
2x 3
2x 1
2x 1 2x 3
2x 1dx
1 4
2
x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d
微积分
第五章 换元积分法
微积分
换元积分法
直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。
在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法——换元积分法。通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元。
因此该定理的意义就在于把
f (u)du F (u) C 中的 u 换成另一个
x 的可微函数 ( x) 后，式子仍成立
——又称为积分的形式不变性 这样一来，可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。
②由定理可见，虽然 f [ ( x)]( x)dx
是一整体记号，但可把 dx 视为自变量微分
a2
1
x
2dx
1
1
x a
2
d
x a
1 a2
11ar1caxt2a2ndxx
a
a
C
.
微积分
例7
a2
1
x2dx
解
a2
1
x 2 dx
(a
1 x)(a
dx x)
1 2a[ aຫໍສະໝຸດ 1 xa1
]dx x
1 [ln | a x | ln | a x |] C 2a
1 ln | a x | C 2a a x
x(1 2ln x)
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x
)
u 1 2ln x
1 2
1 du u
1 2
ln
u
C
1 ln(1 2
2ln x) C.
微积分
例4
求
(1
x x
)3
dx
.
解
x
x 11
(1 x)3dx (1 x)3 dx
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
或
1
1 cos
x
dx
1 2cos2
xdx
tan x C 2
2
微积分
例13 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
解（一）
sin1 c2oxsd2xx12C;sin
2
xd
(2
x)
2
微积分
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 sin xd(sin x) sin x2 C; 解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
微积分
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
观察重点不同，所得结论不同.
微积分
注 ① 定理说明：若已知 f (u)du F (u) C 则 f [ ( x)]( x)dx F[ ( x)] C
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
x)
1
1
1
x
C1
2(1
x)2
C2
1
1
x
2(1
1
x)2
C
.
微积分
例5
1 dx (a 0)
a2 x2
解
1 dx
1 dx
1 d(x)
a2 x2 x
a
1
x a
2
1
x a
2
a
arcsin C
a
1
例6 求 a2 x2dx.
解
1 a
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
如果 u ( x)（可微） dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C
[ f (u)du]u ( x)
将上述作法总结成定理，使之合法化，可得
——换元法积分公式
例2
求
3
1 2
dx. x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
微积分
u 3
2
x
1
1du 1 ln u C 1 ln(3 2x) C.
2u 2
2
一般地
例3 求
f
(ax 1
b)dx dx.
1 a
[
f (u)du]uaxb