第四章习题解答
习题4.1(A)
1、验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理.如果满足，试求出定理中的ξ:
(1) 3
(),[1,1]=-∈-f x x x x ； (2) ,01()0,1
≤<⎧=⎨=⎩x x f x x . 解 (1) 显然函数3()=-f x x x 在[1,1]-上连续,在(1,1)-内可导, 有2()31f x x '=-, (1)(1)0-==f f . 因此,该函数在区间上满足罗尔定理条件.
令
2()310. f ξξξ'=-==得 (2) 不满足, 函数()f x 在闭区间[0,1]上不连续.
2、验证下列各函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理，如果满足，试求出定理中的ξ.
(1) 311)(-+=x x f ([2,9])x ∈；
(2) 1)(-=x x f ([0,3])x ∈.
解 (1) 函数311)(-+=x x f 在[2,9]上连续,在(2,9)内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,所以
(9)(2)'()(92) f f f ξ-=-
解之得,
1ξ=± (舍负). (2) 因为()11f x x x =-=在处不可导,故不满足拉格朗日中值定理.
3、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξ'=-.
证 令=⋅()()x
F x e f x ，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0==()()F a F b ，即满足罗尔中值定理的条件，于是在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得
0'=()F ξ
即
0''==()[()+()]F e f f ξξξξ
于是，至少存在一点∈(,)a b ξ，使得0'=()+()f f ξξ, 即()()f f ξξ'=-.
4、证明不等式：
(1) ,,sin sin ∈-≤-x y R x y x y ；
(2) 当0<<a b 时，
ln --<<b a b b a b a a
； 证 (1) 设()sin f t t =,且x y <,显然()f t 在[,]x y 上满足拉格朗日中值定理条件, 则至少存在一点()x y ξξ<<,使得 sin sin cos ()y x y x ξ-=- 又因为cos 1ξ≤,所以不等式
sin sin y x y x -≤-
(2) 令 ()ln , [,]=∈f x x x a b
则函数()f t 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且
1()f x x
'=
于是，由拉格朗日中值定理，至少存在一点(,)∈a b ξ，使得
()()()()'-=-f b a f b a ξ
即 ln ln ln --==b b a b a a ξ
由于0<<<a b ξ时，则当0>>b a 时有
ln --<<b a b b a b a a
. 5、设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，()0≠g x ，试证:至少存在一个(,)∈a b ξ，使
()()()()f g f g ξξξξ''=
证 令)()()(x g x f x F =，则函数()F x 在区间[,]a b 上满足罗尔定理条件，即至少存在一点(,)∈a b ξ，使得
2()()()()()0 ()
f g g f F g ξξξξξξ''-'== 即 ()()()()f g g f ξξξξ''=.
习题4.1(B)
1、验证柯西中值定理对函数3()2=++f x x x 及2()1=+g x x 在区间[0,1]上的正确性，并
求出相应的ξ值.
解 因为3()2f x x x =++及2()1g x x =+在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且在
(0,1)内,02)('≠=x x g 故满足柯西中值定理条件,由柯西中值定理得
(1)(0)() (0,1) (1)(0)()
f f f
g g g ξξξ'-=∈'- 解之得 1 ,13
==ξξ（舍去） 2、设()(1)(2)(3)(4)=----f x x x x x ，用罗尔中值定理判断方程()0f x '=有几个根，并指出根所在的范围.
解 由于函数()f x 在闭区间[1,2]上连续, 在开区间(1,2)内可导, 且(1)(2)f f =. 所以由罗尔定理可知, 存在1(1,2)ξ∈使得1()0f ξ'=. 同理可证, 存在2(2,3)ξ∈,。