高一下学期期末考试
一、选择题（共60分，每题5分）
1.已知角α的终边经过点()4,3-，则cos α=（ ） A.
45 B.35 C.35- D.45
- 2.已知α为第三象限角，则
2
α
所在的象限是（ ） A.第一或第二象限 B.第二或第四象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限角
3.在ABC △中，AB c =,AC b =.若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A.
2133b c + B.5233b c - C.2133b c - D.1233
b c + 4.等比数列{}n a 中，11
,28
a q =
=，则6a 等于是（ ） A.4± B.4 C.14±
D.14
5.在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ） A.0,
3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.0,6π⎛⎤
⎥⎝⎦
6.已知两个单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确．．．的是（ ） A.1e 在2e 方向是的投影为cos θ B. 2
12
2e e =
C. 121e e =⋅
D.()()
1212e e e e ⊥+- 7.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像，只需把函数sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像（ ） A.向左平移
4π个长度单位 B. 向右平移4π
个长度单位 C. 向左平移
2π个长度单位 D. 向右平移2
π
个长度单位
8.函数()
()1cos f x x x =的最小正周期为（ ）
A.
2
π
B.32π
C.π
D.2π
9.如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）
A.)120
1m B. )180
1m C. )240
1m D. )
30
1m
10.在等差数列{}n a 中，159,5170a a a =>，则在数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时，n 的值等于（ ） A.12 B.11 C.10 D.9 11.若0,0x y >>且
19
1x y
+=，则x y +的最小值是（ ） A.6 B.12 C.16 D.24
12.若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图像向右平移φ个单位，所得图形关于y 轴对称，则φ的最小正周期是（ ） A.
8π B.38π C.4
π
D.34π
二、填空题（共20分，每题5分）
13.已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= .
14.在ABC △中，4,3,60,AB AC A D ==∠=︒是AB 的中点，则CA CD ⋅= . 15.已知向量(2,1),10,52a a b a b =⋅=+=，则b = .
16.设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，则d 的取值范围是 .
三、解答题（共70分）
17.（本题10分）已知函数1
()2sin ,3
6f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R .
（1）求()0f 的值； （2）设106
,0,
,3,(32)2213
5
f f ππαβαβπ⎡⎤⎛
⎫∈+=+=
⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，求sin()αβ+的值. 18. （本题12分））已知数列{}n a 的首项1122
,,1,2,31
n n n a a a n a +=
==+.
（Ⅰ）证明：数列11n a ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
是等比数列； （Ⅰ）求数列n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和. 20. （本题12分））已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭
.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及递增区间； （Ⅰ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 21. （本题12分））已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 的对边长，且()2cos cos c b A a B -= （1）求角A 的大小；
（2）若2a =，求ABC △面积S 的最大值.
22.（12分）已知向量()25
cos ,sin ,(cos ,sin ),5
a b a b ααββ==-=
. （Ⅰ）求cos()αβ-的值；
（Ⅰ）若0,02
2
π
π
αβ<<
-
<<，且5
sin 13
β=-
，求sin α.
参考答案及评分标准
1-5 DBABA 6-10 CBDAC 11-12 CB
13.
4
5
；14.6；15.5；16.(()
,-∞-⋃+∞ 17.解：（1）(0)2sin 16f π⎛⎫
=-
=- ⎪⎝⎭
（2）110
32sin 32sin 232613f πππααα⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫+
=+-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦，即5sin 13α= 16(32)2sin (32)2sin 3625f ππβπβπβ⎡⎤⎛
⎫+=+-=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，即3cos 5β=
∵,0,
2παβ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
∴124
cos ,sin 135
αβ==
== ∴5312463
sin()sin cos cos sin 13513565
αβαβαβ+=+=⨯+⨯= 18.解：（1）在ABC △中，
由题意知，sin A ==
. 又因为2
B A π
=+
，
所以sin sin cos 2B A A π⎛⎫
=+
== ⎪
⎝
⎭.
由正弦定理可得，3sin sin a B
b A
=
== （2）由2
B A π
=+
得cos cos sin 23
B A A π⎛⎫
=+
=-=- ⎪
⎝
⎭. 由A B C π++=，得()C A B π=-+， 所以sin sin()C A B =+
sin cos cos sin A B A B =+
3333
⎛=
-+⨯ ⎝⎭ 因此ABC △
的面积111sin 32232
ab C S =
=⨯⨯=. 19.解：（Ⅰ）设数列{}n a 满足
11112121111111
,..11312222n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++⎛⎫+==∴==+∴-=- ⎪+⎝⎭.又
11211,132a a =∴-=.故数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是以12为首项，1
2为公比的等比数列.
（Ⅰ）由（Ⅰ）知，可知：111111222
n n n a -∴
-=⋅=.即111,22n n n n n n
n a a ∴=+∴=+.
设23
123
2222n n
n
T ∴=
++++
，① 2311121222
22
n n n n n
T +-∴=+++
+，② 由①-②得
231111111111
1122112222
2222212
n n n n n n n n n n T +++⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∴=++++-=-=---
n 11222n n
n
T -∴=-
-
.又(1)
1232
n n n +++++=
. 所以数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为22(1)42
22222n n n n n n n n n s +++++=-+
=-.。