电磁学 磁力图所示，一电子经过A 点时，具有速率s m /10170⨯=υ。

（1） 欲使这电子沿半圆自A 至C 运动，试求所需的磁场大小和方向；（2） 求电子自A 运动到C 所需的时间。

解：（1）电子所受洛仑兹力提供向心力 Rv m B ev 200=得出T eR mv B 3197310101.105.0106.11011011.9---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯== 磁场方向应该垂直纸面向里。

（2）所需的时间为s v R T t 870106.110105.0222-⨯=⨯⨯===ππ eV 3100.2⨯的一个正电子，射入磁感应强度B =0.1T 的匀强磁场中，B 成89︒角，路径成螺旋线，其轴在B 的方向。

试求这螺旋线运动的周期T 、螺距h 和半径r 。

解：正电子的速率为731193106.21011.9106.110222⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--m E v k m/s 做螺旋运动的周期为101931106.31.0106.11011.922---⨯=⨯⨯⨯⨯==ππeB m T s 螺距为410070106.1106.389cos 106.289cos --⨯=⨯⨯⨯⨯==T v h m半径为3197310105.11.0106.189sin 106.21011.989sin ---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==eB mv r m d =1.0mm ，放在知铜片里每立方厘米有8.42210⨯个自由电子，每个电子的电荷19106.1-⨯-=-e C ，当铜片中有I =200A的电流流通时，（1）求铜片两侧的电势差'aa U ； （2）铜片宽度b 对'aa U 有无影响？为什么？vC解：（1）531928'1023.2100.1)106.1(104.85.1200---⨯-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯==nqd IB U aa V ，负号表示'a 侧电势高。

（2）铜片宽度b 对'aa U =H U 无影响。

因为H U =B vb b E H /=和b 有关，而在电流I 一定的情况下，漂移速度)/(nqbd I v =又和b 成反比的缘故。

c b a ⨯⨯，I ，在z 轴方向加有均匀磁场B 。

这时实验得出的数据a =0.10cm ，b =0.35cm ，c =1.0cm ，I =1.0mA ，B =3000G ，片两侧的电势差'AA U =6.55mV 。

（1）这半导体是正电荷导电（P 型）还是负电荷导电（N 型）？（2）求载流子浓度。

解：（1）由电流方向、磁场方向和A 侧电势高于A ’侧电势可以判断此半导体是负电荷导电。

（2）载流子浓度32031933'/1086.210106.11055.63.0100.1m qa U IB n AA 个⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---- 200匝。

每边长为B =4.0T 的外磁场中，当导线通有I =8.0A 的电流时，求： （1）线圈磁矩m 的大小；（2）作用在线圈上的力矩的最大值。

解：（1）36)10150(0.820023=⨯⨯⨯==-NIS m A ⋅m 2 （2）1440.436max =⨯==mB M N ⋅mm 半径为R 的均匀电介质圆盘均匀带有电荷，面电荷密度ω的角速度绕通过中心且垂直于盘面的轴旋转时，其磁矩的大小为441R m πωσ=，而且磁矩m 与角动量L 的关系为L mq m ϖϖ2=，其中q为盘带的总电量。

解：如图所示圆环dr 的磁矩大小为dr r r Trdr dm 322πσωππσ=⋅⋅= 整个旋转圆盘的磁矩大小为 40341R dr r dm m R πσωπσω===⎰⎰ 因为L MR q R ==2,22ωσπ 所以MqLm 2=导线acb 是半径为R 的半圆形，I ，线圈平面与匀强磁场B 的方向垂直。

试求线圈所受的磁力。

解：建立如图坐标系。

在导线上任取一电流元l Id ρ，其受到的安培力为B l Id F d ρρρ⨯=将d F 分解为的dF x 、dF y ，由对称性分析可知x 方向合力为零，整个导线受力⎰⎰⎰=====ππθθθθ02sin sin sin RIB d IBR IBdl dF F F yR =0.1m 的半圆形闭合线圈，载有电流I =10A 。

放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，G B 3100.5⨯=，如图所示。

（1）求线圈所受力矩的大小和方向；（2）在这力矩的作用下，线圈绕过直径的轴转90︒，求力矩所做的功。

xx解：（1）力矩B m M ϖϖϖ⨯=大小220109.7290sin sin -⨯====IB R ISB mB M πθN ⋅m由矢量关系可以判断力矩方向沿直径向上。

（2）力矩所做的功2212109.7)02()(21-ΦΦ⨯=-=Φ-Φ=Φ=⎰R IB I Id A πJ在长直导线AB 内通有电流I 1=40A ，a =9.0cm 、b =20.0cm 的矩形线圈CDEF 中通有电流I 2=5A ，AB 与CDEF 共面，且CD 与AB 平行，相距d =1.0cm 。

试求：（1）矩形线圈每边受到导线AB 的作用力； （2）矩形线圈受到导线AB 的合力和相对矩形中心的合力矩。

解：（1）矩形各边受力方向如图所示。

各边受力大小 421021100.82-⨯===b I d I CD I B F CD πμN 521022100.8)(2-⨯=+==b I a d I EF I B F EF πμNNd da I I dx I x I dx BI F ad dDE 52102102102.9ln 22-+⨯=+===⎰⎰πμπμ5102.9-⨯==DE CF F F N（2）CF 与DE 受力大小相等，方向相反，互相抵消。

所以矩形线圈所受合力NF F F EF CD 454102.7100.8100.8---⨯=⨯-⨯=-=方向向左。

由于各力在同一平面内，所以合力矩为零。

I 11I 的长直导线与一个边长a 的通有电流2I 的正三角形线圈在同一平面内，其中一边与长直导线平行且相距为2a。

试求线圈所受到的合力。

解：三角形各边受力方向如图。

导线AB 受力大小πμπμ210210211)2(2I I a I a I AB I B F === 导线AC 与导线BC 受力大小相等，且沿 竖直方向的分量互相抵消，只有水平向右的分力。

导线AC 受力大小dl I xI dl BI F 210222⎰⎰==πμ 其中030cos dxdl =，所以)13ln(330cos 221030cos 2221020+==⎰+πμπμI I dx x I I F a aa 沿x 方向的分量为)13ln(3260cos 210022+==πμI I F F x 三角形所受合力为)3)13ln(1(221021+-=-=πμI I F F F x 方向水平向左。

I 1电磁学磁场的源B(a) P点在水平导线延长线上；（b）P在半圆中心处；（c）P在正三角形中心解：（a）aIaIBπμπμ4221=+=方向垂直纸面向外；（b）rIrIrIrIrIB42222212121μπμπμμπμ+=++=方向垂直纸面向内；（c）aIaIdIBπμπμπμ29)150cos30(cos3223)150cos30(cos2300=-*=-*=οοοο方向垂直纸面向内；四条通以电流I的无限长直导线，相互平行地分别置于2a的正方形各个顶点处，求正方形中心O的磁感应强度大小。

解：由对称性分析可知，在正方形对角线上的两根电流在O点处磁感应强度大小相等，方向相反，所以，该正方形中心O的磁感应强度大小为0。

II(b)(c)PI(a)aa ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，求铜片外与铜片共面、离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感应强度B 的大小。

解：设立如图坐标系，取铜片上宽度为dx电流， 可将其视为电流强度大小为dx aI的无限长载流导线，则此电流在P 点的产生的磁场的大小为)(2)(200x b a a Idx x b a dxa I dB -+=-+=πμπμ，方向垂直纸面向内。

则整个铜片在P 点的磁场大小为bb a a I x b a n l a I x b a a Idx x b a dx a I dB B a a +=-+-=-+=-+==⎰⎰⎰ln2)(2)(2)(2000000πμπμπμπμA ，C 两点，电流方向如图所示。

求环中心O 处的磁感应强度是多少？解：两导线在O 点磁场大小为0。

设圆环半径为R 铁环上A1C 电流在O 处磁感应强度大小为RL RI B CA CA πμ221101*=，方向垂直纸面向外； 铁环上A2C 电流在O 处磁感应强度大小为R LR I B C A C A πμ222202*=，方向垂直纸面向内。

又由C A CA C A C A L L I I 1221=，带入上两式中得到O 点 总磁感应强度大小021=-=B B BR =1.0cm 的无限长半圆柱面形金属薄片中，自下而上有I =5.0A 的电流通过,如图所示,试求圆柱轴线上任意一点P 的磁感应强度B 的大小及方向。

解：对于俯视图，设立如图坐标系，取圆柱薄片 上一段电流，宽度为dl ，其在P 点磁场如图所示， 由对称性分析可知，整个半圆柱电流在P 点磁场 沿着x 轴方向。

所以dl RIR R dI dB B x ⎰⎰⎰===ππμαπμ2sin 200 又αRd dl =，所以⎰⎰*==ααππμsin 20d R RIR dB B x＝5200201037.622sin 2-⨯==*⎰RI d R I πμααπμπTd = 40cm ，每根导线载有电流A I I 2021==,如图所示，求：（1） 两导线所在平面内与该两导线等距离的一点处的磁感应强度； （2） 通过图中斜线所示面积的磁通量。

（设1031==r r cm ，l ＝25cm 。

） 解（1）与该两导线等距离的一点处的磁感应强度方向垂直纸面向外，大小为T dIdIB 500100.42222⨯===πμπμ （2）由于两电流在矩形上的磁通对称且大小相等，所以其大小为两倍单个导线在此的磁通量。

设立如图的坐标，取长为l ，宽为dx 的面元，则Wb x rI ldx rIS d B r r r63.01.0001102.2ln 0cos 222221-+⨯===•=Φ=Φ⎰⎰πμπμοI1a ）和一同轴的导体圆管（内、外半径分别为b 、c ）构成。

使用时，电流I 从一导体流去，从从一导体流回。

设电流都是均匀分布在导体的横截面上，求空间的磁场分布解：设电流从内圆柱流出，外圆管流入，以O 点为圆心，如下为半径做圆周为安培环路，并取顺时针方向为正方向。