12012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．1．函数1arctany x=的定义域是 A ．[)4, -+∞B ．()4, -+∞C ．[)()4, 00, -+∞D ．()()4, 00, -+∞解：40400x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且.选C.2．下列函数中为偶函数的是A ．23log (1)y x x =+-B ．sin y x x =C ．)y x =D ．e xy =解：A 、D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，C 为奇函数。

选B. 3．当0x →时，下列无穷小量中与ln(12)x +等价的是A ．xB ．12x C ．2x D ．2x解：0x →时，ln(12)~2x x +.选D.4．设函数21()sin f x x=，则0x =是()f x 的 A ．连续点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点D ．第二类间断点2解：0x =处没有定义，显然是间断点；又0x →时21sinx的极限不存在，故是第二类间断点。

选D.5．函数y =0x =处A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导解：函数的定义域为(),-∞+∞，0lim lim (0)0x x f +-→→===，显然是连续的；又00(0)lim lim (0)x x f f +++-→→''===+∞=，因此在该点处不可导。

选C. 6．设函数()()f x x x ϕ=，其中)(x ϕ在0x =处连续且(0)0ϕ≠，则(0)f ' A ．不存在 B ．等于(0)ϕ' C ．存在且等于0D ．存在且等于(0)ϕ解：易知(0)=0f ，且00()0(0)lim lim ()(0)x x x x f x xϕϕϕ+++→→-'===， 00()0(0)lim lim ()(0)(0)x x x x f x f xϕϕϕ-+-+→→--''==-=-≠.故(0)f '不存在。

选A. 7．若函数()y f u =可导，e xu =，则d y = A ．(e )d xf x ' B ．(e )d(e )x xf ' C ．()e d xf x x 'D ．[(e )]de xxf '解：根据复合函数求导法则可知：d ()()xxy f u du f e de ''==.选B. 8．曲线1()y f x =有水平渐近线的充分条件是 A ．lim ()0x f x →∞=B ．lim ()x f x →∞=∞C ．0lim ()0x f x →=D ．0lim ()x f x →=∞解：根据水平渐近线的求法可知：当lim ()x f x →∞=∞时，1lim0()x f x →∞=，即0y =时1()y f x =的一条水平渐近线，选B. 9．设函数x x y sin 21-=，则d d x y =3A ．y cos 211- B ．x cos 211- C ．y cos 22-D ．xcos 22-解：对x x y sin 21-=两边同时求微分有：1cos 2dy dx xdx =-，所以 d d x y =xcos 22-.选D. 10．曲线1, 0()1sin , 0x x f x x x +≥⎧=⎨+<⎩在点(0, 1)处的切线斜率是A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知(0)=1f ，011(0)lim 1x x f x++→+-'==， 00sin 11sin (0)lim lim 1x x x xf x x---→→+-'===，故(0)1f '=.选B. 11．方程033=++c x x （其中c 为任意实数）在区间(0, 1)内实根最多有 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解：令3()3f x x x c =++，则有2()330f x x '=+>，即函数在定义域内是单调递增的，故最多只有一个实根。

选D.12．若()f x '连续，则下列等式正确的是 A ．()d ()f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰B ．()d ()f x x f x '=⎰C ．d ()()f x f x =⎰D ．d ()d ()f x x f x ⎡⎤=⎣⎦⎰解：B 、C 的等式右边缺少常数C ，D 选项是求微分的，等式右边缺少dx.选A.13．如果()f x 的一个原函数为arcsin x x -，则()d f x x =⎰A ．2111C x+++ B．1C - C ．arcsin x x C -+D．1C ++解：()f x 的一个原函数为arcsin x x -，那么所有的原函数就是arcsin x x C -+.所以()d arcsin f x x x x C =-+⎰.选C.414．设()1f x '=，且(0)1f =，则()d f x x =⎰A ．x C +B ．212x x C ++ C ．2x x C ++D ．212x C + 解：因为()1f x '=，所以()()d d f x f x x x x C '===+⎰⎰，又(0)1f =，故()1f x x =+.21()d (1)2f x x x dx x x C ∴=+=++⎰⎰.选B. 15． 20122sin d (cos )d d xt t x -=⎰A ．2cos x - B ．2cos(sin )cos x x C ．2cos x xD ．2cos(sin )x解：本题是变下限积分的题。

利用公式可知201222sin d (cos )d cos(sin )cos d x t t x x x-=⋅⎰.选B. 16．21302e d x x x -=⎰A ．1B ．0C ．112e --D ．1e 1--解：222221111322221202e d e d()de e e d x x x xx x x x x x x x -----=--=-=-+⎰⎰⎰⎰2221110ee12e x x x ---=--=-.选C.17．下列广义积分收敛的是A ．101ln d x x x⎰B．100x ⎰C ．11ln d x x x+∞⎰D ．53e d x x +∞--⎰解：A 选项中112100011ln d ln d ln ln 2x x x x xx ===-∞⎰⎰，故发散；B 选项中根据结论1()bqadx x a -⎰，当1q ≥时发散，本题中43q =，故发散； C 选项中根据结论1d (ln )kax x x +∞⎰，当1k ≤时发散，本题中1k =-，故发散；5D 选项中55153311e d e e 55x xx +∞--+∞--=-=⎰，故收敛。

选D. 18．微分方程22d d 1d d y yyx x+=是 A ．二阶非线性微分方程 B ．二阶线性微分方程 C ．一阶非线性微分方程D ．一阶线性微分方程解：最高阶导数是二阶导数，并且不是线性的。

选A. 19．微分方程d sin cos d y x x x y=的通解为 A ．22cos y x C =+ B ．22sin y x C =+ C ．2sin y x C =+D ．2cos y x C =+解：这是可分离变量的方程。

有d sin cos d y y x x x =，两边同时积分有2211sin 22y x C '=+，即22sin y x C =+.选B. 20．在空间直角坐标系中，若向量a 与Ox 轴和Oz 轴正向的夹角分别为45︒和60︒，则向量a 与Oy 轴正向的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．60︒或120︒解：对空间的任意一个向量有222cos cos cos 1αβγ++=，现有,46ππαβ==，从而解得1cos 2γ=±，所以γ为60︒或120︒.选D. 21．直线12123x y z -+==-与平面20x y +=的位置关系是 A ．直线在平面内 B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直解：直线的方向向量为{}1,2,3l =-，平面的法向量为{}2,1,0n =，且0n l ⋅=，直线上的点()0,1,2-不在平面内，所以故该直线和平面平行。

选B.22．下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是A ．22132x z += B ．22y x z -= C ．22y x z =-D ．2222z x y -=解：根据旋转曲面方程的特点，有两个平方项的系数相同，故选C.623．(,)(1,1)limx y →=A ．0B ．12C ．13D ．2解：(,)(1,1)(,)(1,(,)(1,1limlim lim 2x y x y x y →→→===.选B.24．函数(, )z f x y =在点00(, )x y 处可微是(, )f x y 在该点处两个偏导数z x∂∂和zy∂∂存在的 A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件解：可微可以退出偏导数存在，但是仅有偏导数存在退不出可微，故是充分而非必要条件。

选A.25．已知sin()z x y xy =++，则2zx y∂=∂∂A ．sin()xyB ．sin()(1)xy xy +C ．cos()sin()xy xy xy -D ．cos()xy xy -解：21cos();cos()sin()z z y xy xy xy xy x x y ∂∂=+=-∂∂∂.选C. 26．幂级数02(1)!n nnn x n ∞=-∑的和函数()S x 为A ．e x -B ．2e x -C ．2ex -D ．22e x -解：由0!n xn x e n ∞==∑，可知2002(2)(1)!!n n n n x n n x x e n n ∞∞-==--==∑∑.选B. 27．下列级数发散的是A ．2134(1)(1)(2)nn n n n ∞=--++∑B ．11(1)1nn n ∞=-+∑ C ．111(1)3n n n ∞-=-∑ D ．3121(21)n n ∞=+∑解：A 选项中一般项趋于40-≠，故发散；7B 、C 选项是交错级数，满足莱布尼茨定理，故收敛；D 选项根据结论11pn n∞=∑中1p >时收敛，本题中32p =，故收敛。

选A. 28．若级数(2)nnn a x ∞=-∑在点0x =处条件收敛，则在1x =-，2x =，3x =，4x =，5x =中使该级数收敛的点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解：该级数的中心点是2，又在点0x =处条件收敛，所以可以确定收敛区间为()0,4.故在2x =，3x =处收敛。