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核心素养测评六十八变量间的相关关系与统计案例(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系,应用独立性检验法算得K2的观测值为5,又已知P(K2≥3.841)=0.05,P(K2≥6.635)=0.01,则下列说法正确的是( )A.有95%的把握认为“X和Y有关系”B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”C.有99%的把握认为“X和Y有关系”D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”【解析】选A.依题意K2的观测值为k=5,且P(K2≥3.841)=0.05因此有95%的把握认为“X和Y有关系”.2.(2020·许昌模拟)“吸烟有害健康,吸烟会对身体造成伤害”.美国癌症协会研究表明,开始吸烟年龄X分别为16岁、18岁、20岁和22岁者,其得肺癌的相对危险度Y依次为15.10,12.81,9.72,3.21;每天吸烟支数U分别为10,20,30者,其得肺癌的相对危险度V分别为7.5,9.5和16.6,用r1表示变量X与Y之间的线性相关系数,用r2表示变量U与V之间的线性相关系数,则下列说法正确的是( )A.r1=r2B.r1>r2>0C.0<r1<r2D.r1<0<r2【解析】选D.由题意可知,开始吸烟年龄递增时,得肺癌的相对危险度呈递减趋势,所以吸烟年龄与得肺癌的危险度呈负相关,所以r1<0,同理可知,得肺癌的危险度与每天吸烟支数呈正相关,所以r2>0.因此可得r1<0<r2.3.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线=x+近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是( )A.线性相关关系较强,的值为1.25B.线性相关关系较强,的值为0.83C.线性相关关系较强,的值为-0.87D.线性相关关系太弱,无研究价值【解析】选B.散点图里变量的对应点分布在一条直线附近,且比较密集,故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的正线性相关关系,且直线斜率小于1.4.(2020·南昌模拟)某公司在2015～2019年的收入与支出如表所示:收入x(亿元) 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9支出y(亿元) 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8根据表中数据可得回归方程为y=0.8x+a,依此估计2020年该公司收入为8亿元时支出为 ( )A.4.2亿元B.4.4亿元C.5.2亿元D.5.4亿元【解析】选C.根据表中数据,计算=×(2.2+2.6+4.0+5.3+5.9)=4,=×(0.2+1.5+2.0+2.5+3.8)=2,所以=2-0.8×4=-1.2,所以回归直线方程为=0.8x-1.2,计算x=8时=0.8×8-1.2=5.2(亿元),即2020年该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·长春模拟)某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示,并得到其回归直线的方程为l 1:=0.68x+,计算其相关系数为r1,相关指数为.经过分析确定点F为“离群点”,把它去掉后,再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为l 2:=x+0.68,相关系数为r2,相关指数为.以下结论中,不正确的序号是________.①r1>0,r2>0 ②>③=0.12 ④0<<0.68【解析】由图可知两变量呈现正相关,故r1>0,r2>0,且r1<r2,故<,故①正确,②不正确.又回归直线l 1:=0.68x+必经过样本点的中心(3.5,2.5),所以=2.5-0.68×3.5=0.12,③正确.回归直线l 2:=x+0.68必经过样本点的中心(3,2),所以2=×3+0.68,所以=0.44,也可直接根据图象判断0<<0.68(比较两直线的倾斜程度),故④正确.答案:②6.某学校社团为调查学生课余学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示,将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料判断________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”与性别有关.非围棋迷围棋迷总计男女10 55总计附:K2=,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解析】由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“围棋迷”有100×0.25=25人,从而2×2列联表如下所示:非围棋迷围棋迷总计男30 15 45女45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算,得K2的观测值k==≈3.030,因为3.030<3.841,所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”与性别有关.答案:不能三、解答题7.(10分)(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2, (17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.【命题意图】本题考查线性回归方程的运用和函数模型的拟合选用,重点考查学生的识图、读图能力和数据分析能力.【解析】(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:方法一:从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.方法二:从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.(15分钟35分)1.(5分)已知某次考试之后,班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本,他们的数学、物理成绩(单位:分)对应如表:学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学成绩60 65 70 75 80 85 90 95物理成绩72 77 80 84 88 90 93 95给出散点图如图:根据以上信息,判断下列结论:①根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系;②根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系;③从全班随机抽取甲、乙两名同学,若甲同学数学成绩为80分,乙同学数学成绩为60分,则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由散点图知,各点都分布在一条直线附近,故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系,但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系,故①正确,②错误;若甲同学数学成绩为80分,乙同学数学成绩为60分,则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高,故③错误.综上,正确的个数为1.2.(5分)通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由K2=算得,K2的观测值为k=≈7.8.附表:P(K2≥k0) 0.05 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828参照附表,得到的正确结论是( )A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】选A.根据独立性检验的定义,由K2的观测值为k≈7.8>6.635,可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下,即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.3.(5分)在2019年3月15日那天,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示:价格x 9 9.5 m 10.5 11销售量y 11 n 8 6 5由散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是=-3.2x+40,且m+n=20,则其中的n=________.【解析】==8+,==6+.回归直线一定经过样本点的中心(,),即6+=-3.2+40,即3.2m+n=42.又因为m+n=20,即解得答案:104.(10分)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如折线图所示:(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高?(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势.(3)试以第3年的前4个月的数据(如表),用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.月份x 1 2 3 4利润y(单位:百万元) 4 4 6 6相关公式:==,=-.【解析】(1)由折线图可知5月和6月的月平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28(百万元),第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31(百万元).第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41(百万元),所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)因为=2.5,=5,12+22+32+42=30,1×4+2×4+3×6+4×6=54,所以==0.8,所以=5-2.5×0.8=3.因此线性回归方程为=0.8x+3. 当x=8时,=0.8×8+3=9.4.所以估计第3年8月份的利润为9.4百万元.5.(10分)(2020·珠海模拟)某种仪器随着使用年限的增加,每年的维护费相应增加. 现对一批该仪器进行调查,得到这批仪器自购入使用之日起,前5年平均每台仪器每年的维护费用大致如表:年份x(年) 1 2 3 4 5维护费y(万元) 0.7 1.2 1.6 2.1 2.4(1)根据表中所给数据,试建立y关于x的线性回归方程=x+.(2)若该仪器的价格是每台12万元,你认为应该使用满五年换一次仪器,还是应该使用满八年换一次仪器?并说明理由.参考公式:用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式:== ,=-.【解析】(1)=3,=1.6,=9,=4.8,x i y i=0.7+2.4+4.8+8.4+12=28.3,=1+4+9+16+25=55.所以,===0.43,=-=1.6-0.43×3=0.31.所以回归方程为=0.43x+0.31.(2)若满五年换一次仪器,则每年每台仪器的平均费用为:y1==4(万元)若满八年换一次设备,则每年每台设备的平均费用为:y2===3.745(万元).因为y1>y2,所以应该使用满八年换一次仪器.关闭Word文档返回原板块。