第四章题4-1：试绘制如下负反馈控制系统开环传递函数以K(g K )为参变量的闭环根轨迹。
(1) K(0.5s 1)G(s)H(s)s(0.1s 1)(0.2s 1)+=++(2) g 2K (s 3)G(s)H(s)s(s 2s 2)+=++(3) g 2K (s 2)G(s)H(s)(s 2s 2)+=++(4) g K (s 4)G(s)H(s)s(s 1)(s 2)(s 3)+=+++ (5) g 2K (s 2)G(s)H(s)(s 1)(s 4s 16)+=-++(1) 根轨迹方程：21(10)(5)gs s s s K +=-++ K K g 25= a) 零点与极点：21-=z ，101-=p ，52-=p ，03=pb) 根轨迹趋向：2n m -≥，则极点-5，-10之间的根轨迹向右渐进．c) 渐近线：180(12)9026.5k k n ϕσ±+⎧==±⎪⎨⎪-=-⎩ d) 分离点与会合点：令0gK s∂=∂即：010*******3=+++s s s 17.34s ⇒=-；2,3 1.5794 2.0776j s =-±(舍去)根轨迹如下图：(2) 根轨迹方程：31(1)(1)gs s s j s j K +=-+++-a) 零点与极点：31-=z ，j p +-=11，j p --=12，03=pb) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图c) 渐近线：180(12)9020.5k k n ϕσ±+⎧==±⎪⎨⎪-=⎩ d) 与虚轴交点：特征方程：322(2)30g g s s K s K ++++=3210122320.53g gggs K s K s K s K +-当4g K =时，01222=+s 2.45s j ⇒=± e) 出射角：180(12)sc n ββα=±+-+∑∑1809013526.618.43=±--+=根轨迹如下图：(3) 根轨迹方程：21(1)(1)gs s j s j K +=-+++- a) 零点与极点：21-=z ，j p +-=11，j p --=12b) 分离点与会合点：在实轴上只有一个零点，在其右侧无根．则两个极点一个趋向负无穷，一个趋向2-，令0gK s∂=∂ 即：0242=++s s 1 3.41s ⇒=-；20.5858s =-(舍去) c) 渐近线：180k ϕ=±d) 出射角：135sc β=根轨迹如下图(以(-2，0)为圆心的圆弧)：(4) 根轨迹方程：41(1)(2)(3)gs s s s s K +=-+++ a) 零点与极点：41-=z ，11-=p ，22-=p ，33-=p ，04=pb) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图c) 渐近线：60,1800.67k k ϕσ⎧=±±⎪⎨-=-⎪⎩d) 分离点与会合点：令0gK s∂=∂ 即：0248883283234=++++s s s s10.4108s ⇒=-(分离点)；2 2.686s =-(分离点)；3 4.6911s =-(会合点)；4 1.5455s =-(舍去) e) 与虚轴的交点：特征方程：432611(6)40g g s s s K s K +++++=4322101114661104636090604gg ggg gg gs K s K s K K K K s K s K +----令2360900g g K K --=，解得1 3.84g K =，293.84g K =-(舍去)当 3.84g K =时，29.3615.360s += 1.28s j ⇒=± 根轨迹如下图：(5)1gK =- a) 零点与极点：21-=z ，11=p ，j p 3222+-=，j p 3223--=b) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图c) 渐近线：900.5k kϕσ⎧=±⎪⎨-=-⎪⎩d) 出射角：49.1sc β=± 根轨迹如下图：题4-2：试绘制如下负反馈控制系统开环传递函数以a 为参变量的根轨迹，并讨论a 的改变对系统性能产生的影响，指出系统稳定的a 值范围。
20.25(s a)G(s)H(s)s (s 1)+=+由特征方程321()()0.250.250G s H s s s s a +=+++=得到广义根轨迹方程：2111(1)0.250.25g s s s a K =-=-++ a) 零点与极点：01=p ；5.03,2-=pb) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图c) 渐近线：60,1800.33k k ϕσ⎧=±±⎪⎨-=-⎪⎩d) 分离点与会合点：令0g Ks∂=∂即2320.250s s ++=10.17s ⇒=-(分离点)，20.5s =-(舍去) e) 与虚轴交点：025.025.023=+++a s s s由劳斯判据可以得出，当1=a ，j s 5.02,1±=系统临界稳定，所以当)1,0(∈a 系统稳定．a 的改变会影响闭环主导极点的ξ、n ω；a 越大[在)1,0(之间]，ξ越小，超调量越大，系统震荡越剧烈；同时n ω越大，闭环主导极点距离虚轴越近，调节时间越长。
根轨迹如下图：题4-3：试绘制题3-3所示系统以τ为参变量的根轨迹，并讨论τ逐渐增大时的效应。
系统特征方程：2(82)80s s τ+++=⇒根轨迹方程：211288gs s s K τ=-=-++ 零点与极点：01=z ，1,21 2.65p j =-±分离点与会合点：令0gK s∂=∂1 2.828s ⇒=-(会合点)；2 2.828s =(舍去) 出射角：200.7sc β=±当τ逐渐增大时，首先系统由欠阻尼状态(01ξ<<，系统有两个共轭复数闭环极点)过渡到临界阻尼状态(1ξ=，此时根轨迹到达会合点，系统有两个相等的负实数闭环极点)，这期间n ω不变，系统的性能是由这两个共轭复数闭环极点或这两个相等的负实数闭环极点共同决定；随着τ继续增大，系统变为过阻尼状态(1ξ>)，此时系统有两个不相等的负实数闭环极点，其中一个负实数闭环极点沿着负实轴向左趋向于-∞，另一个负实数闭环极点沿着负实轴向右趋向于原点(系统开环零点)，当τ足够大时，原二阶系统可近似为一个由第二个闭环极点(即沿着负实轴向右趋向于原点的负实数闭环极点)所描述的一阶系统，此时原系统的性能主要由这个近似的一阶系统决定。
根轨迹如下图(以原点为圆心的圆弧)：题4-4：某负反馈控制系统的开环传递函数具有如下的形式g 2K (s 2)G(s)H(s)s(s 3s 4.5)+=++试判断点(-1,j2)、(-1,j3)是否在根轨迹上？如果有不在根轨迹上的点，试计算该点满足相角条件尚需的差额。
根轨迹方程：221(3 4.5)gs s s s K +=-++零点与极点：21-=z ，j p 5.15.12,1±-=，03=p利用辐角条件：点(-1，j2) 在根轨迹上：123arctan 245arctan7(180arctan 2)180αβββ---=----=- 符合幅角条件．点(-1，j3) 不在根轨迹上：123arctan3arctan3arctan9(180arctan3)192.1αβββ---=----=-不符合幅角条件．补偿方法：添加一对开环零极点，所偿角为12.1 ．题已知负反馈控制系统的开环传递函数分别为(1) g2K G(s)H(s)s(s 2s 10)=++(2) g2K G(s)H(s)(s 1)(s 3s 10)=-++试绘制它们的根轨迹并确定使系统稳定的g K 值范围。
(1) 根轨迹方程：211(210)gs s s K =-++ 零点与极点：j p 312,1±-=，03=p渐近线：60,1800.67k kϕσ⎧=±±⎪⎨-=-⎪⎩出射角：18.4sc β= 与虚轴交点：特征方程：322100g s s s K +++=32101102100.5gggs s K s K s K -当20g K =时，22200s +=1,2 3.16s j ⇒=±所以020g K <<；当0g K =系统的开环极点等于系统的闭环极点． 根轨迹如下图：(2) 根轨迹方程：211(1)(310)gs s s K =--++ 零点与极点：1,2 1.5 2.78p j =-±，13=p渐近线：60,1800.67k kϕσ⎧=±±⎪⎨-=-⎪⎩出射角：42sc β= 与虚轴交点：特征方程：3227100g s s s K +++-=321017210120.510g gg s s K s K s K ---当24g K =时，22140s +=1,2 2.65s j ⇒=± 劳斯表的0s 行为正10g K ⇒>，即1024g K << 根轨迹如下图：题4-6：已知负反馈控制系统的开环传递函数为g K (s 2)G(s)H(s)s(s 1)(s 3)+=++试绘制以g K 为参变量的根轨迹，在根轨迹上确定具有二阶阻尼比为0.707ζ=的点，并回答：(1) 所确定的点能否充当闭环主导极点？ (2) 由该点确定的二阶响应性能%σ、s t 是多少？ (3) 该点的g K 和开环放大系数K 是多少？ (4) 稳态速度误差系数是多少？(5) 系统指标比该点的二阶指标大还是小？如果要求系统有该点二阶指标的超调量，能否通过改变阻尼线而获得？是增大阻尼比还是减小它？(1) 根轨迹方程：21(1)(3)gs s s s K +=-++ 零点与极点：21-=z , 01=p , 12-=p , 33-=p渐近线：901k kϕσ⎧=±⎪⎨-=-⎪⎩分离点与会合点：0gK s∂=∂0.534s ⇒=-(分离点) 作707.0=ξ的阻尼线交根轨迹于10.5760.576s j =-+，20.5760.576s j =--由于4321-=++s s s ，则3 2.848s =-，31Re() 2.8483Re()0.576s s μ-==>-． 这说明所确定的点能充当闭环主导极点． 实际系统根轨如下：(2) 根据闭环主导极点：||0.81n s ω===%33.4%100%100%22707.01707.01=⨯=⨯=----πξξπσe e35.24s nt ξω==(3) 该点对应的根轨迹放大倍数和开环放大倍数：|||1||3|0.943|2|g s s s K s ⋅+⋅+==+(计算这个值，可代入该阻尼比的根轨迹上任意一个根，为了计算方便代3 2.848s =-)；20.633g K K ==(4) 稳态速度误差系数：00(2)2lim ()()lim 0.63(1)(3)3g v g s s K s K sG s H s s K s s s →→+====++(5) 系统实际指标比该点的二阶指标：超调量小(可参考教材131页)，调节时间长(对于高阶系统，超调量小未必调节时间就小)；如果要求系统有该点二阶指标的超调量，则能够通过改变阻尼线而获得；由于系统自身受非主导极点的影响，在根轨迹放大倍数不变的情况下，主导极点的根轨迹超调量比实际系统的超调量稍大一些。