小波分析及其在信号滤波中的应用学生指导老师电气信息工程学院摘要：基于信号和噪声的频率不同，本文对小波进行了分析研究，并利用小波阈值方法对信号进行了滤波处理。

根据频率的不同采用了最佳软阈值滤波法对原始信号进行了分离，采用db10小波和sym8小波对信号进行5层分解，并且在选择细节系数时，选用最佳阈值软模式和尺度噪声以及选用sure阈值模式和尺度噪声，分出实际有用信号和很明显的噪声信号。

利用Matlab对noissin信号函数及初设原始信号进行分析，从得到的滤波前后的信号图片分析，验证了小波对信号滤波的有效性。

关键词：小波变换; 阈值; 信号滤波; MATLABStudy on Wavelet Analysis and Its Application to SignalfiterStudent:Supervisor:Electrical and Information Engineering DepartmentAbstract:Based on the frequency of the signal and noise is different, in this paper, the wavelet analysis and research, and use wavelet threshold value method to signal the filtering processing. According to the different frequency used the best soft threshold of filtering method for isolation of the original signal, the db10 wavelet and wavelet sym8 signal, 5 layers decomposition, and at selected detail coefficients, choose optimal threshold soft mode and scale noise and choose sure threshold mode and noise scale, cent gives actual useful signal and obviously noise signal. Use of Matlab noissin signal function and set up at the beginning of the original signal is analyzed, from the filter of the signal analysis before and after pictures, the effectiveness of the wavelet to signal the effectiveness of filtering.Key words:wavelet transform; Threshold; Signal fiter; MA TLAB1绪论1.1设计的背景和研究意义小波分析是目前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领网域的许多学科；信号分析、影像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；电脑分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。

在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。

小波在信号分析中的应用也十分广泛。

它可以用於边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘侦测等。

小波分析属于时频分析的一种，是一种信号的时间-尺度（时间-频率）分析方法，它具有多分辨率的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时域局部化分析法。

因此利用小波分析方法对信号进行滤波具有重要的实际意义。

1.2小波在信号滤波中的发展状况小波分析是20世纪80年代形成的一个迅速发展的数学分支，它同时具有理论背景深刻和工程应用广泛的双重意义。

小波分析是在Fourier分析基础上发展起来的，但它与Fourier分析存在着极大不同。

小波变换与Fourier变换、加窗Fourier变换相比，它是一个自适应的时间和频率的局部变换，具有良好的时-频定位特性和多分辨能力。

因而它能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的某些困难问题。

所以小波分析被誉为“数学显微镜”，它是Fourier分析发展史上里程碑式的进展。

随着小波理论与应用的不断发展，其理论成果和应用范围遍及众多学科和领域，所以投身于小波分析研究及应用的人员越来越多，成为众多学科共同关注的焦点和有力的应用工具之一，从而学习和掌握小波分析理论和方法成为许多大学生、研究生和科技工作者的愿望。

尽管小波滤波技术已经应用于多种领域，但总的来说，目前该方法的工程应用及其理论发展相比还显得滞后和不足，许多应用领域还停留在仿真实验阶段。

小波变换本质上是一滤波过程，但它优于传统的数字滤波方法。

子波分析方法对弱信号实时处理的结果表明：小波变换方法可以根据信号和噪声的不同特性进行非线性滤波。

在改善信噪比的同时，具有很高的时间分辨率而且对信号的形式不敏感。

这是传统的滤波方法所无法比拟的。

小波变换方法特别适合于弱信号的检测和定位。

随着小波变换理论的完善，小波变换方法将会有更广泛的应用前景。

（1）对信号进行小波分解选择一个小波函数并确定分解的层次N，然后对信号S进行N层小波分解。

（2）小波分解高频系数的域值量化对第1～N层的每一层高频系数，选择一个域值进行域值量化处理。

（3）信号重构根据小波分解的第N层的低频系数和经过量化处理后的第1～N层的高频系数，进行信号的小波重构（小波逆变换）。

该方法并不复杂，但目前存在2个问题：a.在小波分解时选择什么样的小波函数更适合于特定工程问题，有利于更好去除噪声，不同的问题选用不同的小波函数，滤波效果会有所不同，目前的理论研究中，对此问题还感到非常棘手。

b.对阈值的量化问题，在对各层分解中的高频系数（CD）的量化过程，选择多大的域值更有利于消噪，目前仍处于研究中，但常用的有软域值方法和硬域值方法，如基于无偏似然估计（二次方程）原理的自适应域值选择，对于一个给定的域值th，得到他的似然估计，再将非似然th最小化，就得到了所选的阈值。

1.3论文的主要内容本文分析利用小波对信号的处理，以及在去噪方面的研究，首先具体是了解实际有用信号和干扰噪声之间的区别，利用小波分析方法对实际的含噪声信号进行滤波分析，降低噪声的影响，得出更具实际意义的信号；具体是通过小波理论中的多尺度分析理论，确定信号奇异点，其中涉及到信号分解和模极大值处理，通过设定阈值对消噪的处理，对信号进行重构，再结合数学算法得到结果，比较滤波前后信号的信噪比和均方根误差来验证小波方法对信号滤波的有效性能，最后利用Matlab仿真软件对其进行仿真分析。

本文第一章是绪论，第二章是小波分析的基本理论，第三章是小波在信号滤波中的应用，第四章是系统仿真分析，第五章是结束语。

2 小波分析的基本理论 2.1 小波函数小波函数的基本公式如下公式（1）∑∑∞-∞=∞-∞=><=j k kj kj t f t f )(~,)(,,ψψ =∑∑∞-∞=∞-∞=j k kj kj t d)(,,ψ（1）)2(,k t jkj -=ψψ（2） 其中，)(t ψ 是小波函数，k j d , 是小波系数，且k j d , =><kj f ,~,ψ （3） 由公式（1）到（3） 可以看到，小波级数是两重求和，小波系数的指标不仅有频率的指标j ，而且还有时间的指标 k 。

也就是说，小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标 j ，在不同时刻 k ，小波系数也是不同的。

通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积是[ψψ∆++∆-+**a at b a at b ,]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆-⨯∙∙ψωψω a a a a 1,1 （4） 其中j a -=2，时间窗的宽度为 ψ∆a 2，随着频率的增大（即j 的增大）而变窄，随着频率的减小（即j 的减小）而变宽，之所以有这样的结果，关键在于公式（2）中，时间变量 t 前面乘了个“膨胀系数”j 2 。

小波变换的“时间—频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间—频率分析所希望的。

根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。

然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。

再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。

2.2小波函数的类型及选择应用到小波去去噪，首先就要考虑到小波函数的选择，因此遵循选择小波函数的“四项原则”。

正交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。

在求小波系数公式（3）中，如果 )(k t -ψ 是)(2IR L 空间的正交基，那kj ,~ψ为kj ,ψ的复共轭。

小波分析的最重要的应用是滤波，为了保证滤波不失真，小波函数必须具有线性相位，至少具有广义线性相位。

小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号，这就要使用函数的导数，小波函数至少是1C 连续。

由前面分析可知，小波函数必须具有紧密支撑的性质。

其次，还要考虑到“时--频窗”宽度的问题，下面简单讲述利用其检测频率信号。

在最高频率水平 N V （即根据实测数据的时间测量间隔 t ∆，最高能检测到的频率为 Nyquist 频率 tf ∆=21），选择最窄的“时—频窗”宽度，检测到原始信号中的最高频率信号，并将这些信号从原始信号中剥离，存放在1-N W 空间，而将剥离后的剩余低频信号的总合，存放在另一空间1-N V 。

然后，增大“时—频窗”的宽度，再检测1-N V 空间中的高频信息，将这些信号从1-N V 空间中剥离，存放在2-N W 空间，而将剥离后的剩余低频信号的总合，存放在另一空间2-N V 。