均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，2?3?1 ??3?1?5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
?2?技巧三：分离例3. 求y?的值域。
x?1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。
x?7x?102当,即时,y?5?9。
技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
y??7?g恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
?B，g当,即t=时,y?技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?x?2ax的单调性。
例：求函数y?的值域。
解：令?t，则y?1t2??t?1t因t?0,t??1，但t?因为y?t?1t1t解得t??1不在区间?2,，故等号不成立，考虑单调性。
52在区间?1,单调递增，所以在其子区间?2,为单调递增函数，故y??5??。
所以，所求函数的值域为?,。
?2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. y?x?3x?1x2, y?2x?1x?3,x? y?2sinx?231sinx,x?2．已知0?x?1，求函数y?条件求最值的最大值.；3．0?x?，求函数y?.1.若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：a和3b都是正数，3a?3b≥23?3?23aba?b?6当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6．变式：若log4x?log4y?2，求1x?1y的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
：已知x?0,y?0，且1x?1x9y9y?1，求x?y的最小值。
?1?x9???x?y??y?错解：?x?0,y?0，且．．??1，?x?y????1 故?x?y?min9y?1。
错因：解法中两次连用均值不等式，在x?y?x?y，在1x??条件是1x?9y即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：?x?0,y?0,1x?9?19?y9x?10?6?10?1?1，?x?y??x?yxyxyy??当且仅当yx?9xy时，上式等号成立，又?1x?9y?1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?1。
1y变式：若x,y?R且2x?y?1，求1x?的最小值?已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y的最小值xyy2技巧七、已知x，y为正实数，且x＋＝1，求＋y 的最大值.2a＋b分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。
2221＋y 中y前面的系数为，＋y ＝x2221＋y2· ＝x·21y ＋22下面将x，1y分别看成两个因式：2x＋2x＋2223＝＝即＋y ＝·x22421y3＋≤ 241的最小值. ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
30－2b30－2b－b＋30b法一：a＝，ab ·b＝b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15－2t＋34t－311616令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2＋34∵t＋≥2ttt1∴ ab≤1∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
18法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2ab∴0－ab≥ab令u＝ab则u2＋u－30≤0，－5≤u≤31∴ ≤3，ab≤18，∴y≥18点评：①本题考查不等式a?b2?ab的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等?t·16＝t式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b 与ab之间的关系，由此想到不等式a?b2?ab，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.?变式：1.已知a>0，b>0，ab－＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝x ＋y 的最值.a＋ba＋b解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单223x ＋y22y ）＝x＋2y ＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W＞0，W2＝3x＋2y＋2x y ＝10＋2x y ≤10＋2·＝10＋＝20∴ W≤20 ＝2变式:求函数y?12?x?52)的最大值。
解析：注意到2x?1与5?2x的和为定值。
y?2?4??48322又y?0，所以0?y?当且仅当2x?1=5?2x，即x?时取等号。
故ymax?评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
应用二：利用均值不等式证明不等式 1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2?b?c22?ab?bc?ca1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：≥8abc 例6：已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。
求证：??1??1??1??111a??b??c?分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1a?1?1?aa?b?ca?a1a1?aab?caa解：?a、b、c?R?，a?b?c?1。
??1。
同理1b?1?b，?1?c1c。
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1?1??1??1?a?b?c?。
当且仅当时取等号。
?1?1?1??83abcabc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知x?0,y?0且1x?9y?1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。
解：令x?y?k,x?0,y?0,10k3k1x?9y?1，?x?ykx?9x?9yky?1.?10k?ykx?9xky?1?1??2?。
?k?1，m,16?应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若a?b?1,P?lga?lgb,Q?12,R?lg，则P,Q,R的大小关系是分析：∵a?b?1 ∴lga?0,lgb?0Q?12已知a,b,c均为正实数，证明：并确定a,b,c为何值时，等号成立。
类型二：求最值：221a112?)?，bc利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。
使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1. 设x,y?且11??1，求x?y的最小值。
xy11?的最小值。
xy2. 设x,y?且x?y?1，求3. 已知a,b为正实数，且a?b?1求ab?1的最小值。
ab4. 求函数y?11?的最小值。
x1?x291?的最小值。
x1?2x2变式：求函数y?5. 设x,y?，x?3y?5xy，求3x?4y的最小值。
6. 设x,y?，x?y?xy?6求x?y的最小值。
7. 设x,y?，x?y?xy?6求xy的最大值。
228. 设x,y为实数，若4x?y?xy?1，求2x?y的最大值。
9.求函数y变式：y?的最大值。
x2?x?110. 设x?0求函数y?的最小值。
xx2?x?111. 设设x??1求函数y?的最小值。
x?112. 若任意x?0，x?a恒成立，求a的取值范围.x?3x?1 2x2?3x?313. 求函数y?2的最大值。
x?2x?2 类型三、应用题1.围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙，其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用旧墙的长度为x。
将y表示为x的函数。
试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。
并求出最小总费用。
2.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。
经测算，如果将楼房建为x层，则每平方米的平均建筑费用为560?48x。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？建筑总面积附加题：若正数a,b,c满足a?b?c?1，那么?2?2的最小值为 abc1、若实数x，y满足x?y?4，求xy的最大值2、若x>0,求f?4x?3、若x?0，求y?x?4、若x5、求f?4x?6、若x，y?R，x+y=5，求xy的最值7、若x，y?R，2x+y=5，求xy的最值8、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值??229的最小值; x1的最大值 x9的最大值 x9的最小值. x?51、求y?2、求y?x的最大值.3、求y?x的最大值。