AN OPTIMIZATION APPROACH FOR PROCESS ENGINEERING PROBLEMS UNDER UNCERTAINTY
1. Mathematical formulation
基于不确定性变量的分类和设计目标函数的形式，不确定性参数θ 可以分为决定性的不确定性参数 (deterministic) d θ，和随机性的不确定性参数 (stochastic) s θ ，设计问题表达如下：
上式中T 表示参数集合，)(s J θ 是概率分布函数。

在参数集合T 中，决定性的不确定性参数d θ 可以进一步表示成多周期或多情境的形式 (periods/scenarios), P p p ,...,1,=。

因此原问题转化为如下多周期问题：
上式中p w 表示周期p 的权重因子。

随机性的不确定性参数s θ 将出现在两级随机规划的表达当中。

因此原问题可以进一步转化为如下形式：
上式描述了一个两级的设计策略，当第一级的设计变量被确定后，第二级的设计目标就是确定一组最优的控制变量 p z ，相对应于每一种可能出现的不确定性参数情况 d θ 和s θ。

上式的数学结构可以用如下的块三角的图型表示，从中可以看出设计变量 d 和不确定性参数 s θ是出现在第一级的变量。

这种数学结构可以用特殊的分解算法来求解。

求解过程首先将设计变量 d 固定在 d ，解如下可行子问题：
θ离散为有限个积分以上可行子问题的求解结果将随机性的不确定性参数
s
θ，因此优化问题的数学结构转化为下图的形式：
点q
s
上图表明，原优化问题可以分解为多个子问题，然后单独求解，优化子问题的表达式如下：
求优化子问题的期望值，将结果设为原问题的下边界：
利用求解可行子问题和优化子问题得到的对偶信息，构造如下优化主问题，该问题的解当作原问题的上边界，同时可以更新设计变量d的值。

经过以上方式的循环迭代，上下边界最终收敛到一个值，该值即为原优化问题的解。