1•已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为（2, 0）,右顶点为”（J3,0） （1）求双曲线C 的方程;（2）若直线I : y kx 、2与双曲线C 恒有两个不同的交点 A 和B ,且OA OB 2 （其1k 2 3.3中O 为原点） •求k 的取值范围•解：（I ）2设双曲线方程为笃a 1 (a 0,b 0).由已知得 a ∖3,c2,再由 a 2 b 222,得b 21.故双曲线 2C 的方程为x-31.(∏)将 2y kx 2代入—31 得(1 3k 2)χ2 6.2kx 9 0.由直线I 与双曲线交于不同的两点得21 3k 0,(6.2k)236(1 3k 2)36(1 k 2) 0.即k 21且k 2 1.① 3设 A(X A ,y A ),B(X B ,y B ),则X A X B6 2k 1 3k 2"A X B9 一 一尹由O A OB 2得XAXBy A y B 2,而 X A X B' 2)(kX B 2) (k1) X A X B 2k(x A X B ) 22(k I)I9 3k 22k 16 2k22 3k ： 7 3k 3k1是 3k 27 疋 3k 21 2,即 3k2 3k 2 1 0,解此不等式得由①、②得k 21.故k 的取值范围为(I, T )（刊2X2..已知椭圆C :丐+a2占=1 （a > b > 0）的左•右焦点为 F 1、F 2,离心率为e.直线bI : y = ex + a 与X 轴.y 轴分别交于点 A 、B , M 是直线I 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点,解得 1设M 的坐标是(x 0,y 0),(∏)解法一：因为PF 1⊥ I ,所以∠ PF 1F 2=90° +∠ BAF 1为钝角，要使△ PF 1F 2为等腰三角形，必有IPF IF IF 1F 2∣,1即 TPF I I c. 2设点F 1到I 的距离为d ,I e(_c) —1设 AM =λ AB .(I)证明：λ= 1 — e 2;(∏)确定λ的值，使得△ PF 1F 2是等腰三角形•［来Z ”，(I)证法一：因为 A 、B 分别是直线 I : y ex a 与X 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是y a (,0),(0, a).由 X 2e2 a ex a, b 2c,b 2 这里 C ∙, a 2 b 2 .C所以点M 的坐标是(b 2 c, a由AM即b 2 证法二: 因为 A 、B 分别是直线I : y exaa 与X 轴、y 轴的交点，所以 A 、B 的坐标分别是(一，0),(0, a).eIUlIl 由AMULll AB 得 (X-,y 0) e(：,a),所以X o 1) y oa.因为点M 在椭圆上，所以2 Xo 2a2y 。
1 b 2 1,a [( 即-e —1)]2(a)2 b 2 1,所以(1 )2 2 e2TV 1∙［来源学科网ZXXK ］解得 2(1)e 2 (1 )2 0, e 211 e 2.I a ecI 、1 e 2c,a bAB 得 ( C —,——)e a得仝e..1 e 21,于是 32时，△ PF 1F 2为等腰三角形. 3［启思］4.已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在X 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于 A 、B 两点，QA QB 与a (3,1)共线.(I)求椭圆的离心率；(∏)设M 为椭圆上任意一点，且 QM QA QB ( , R),证明22为定值.解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分12分.所以e 2即当解法二：因为 PF 1⊥∣ ,所以∠ PF 1F 2=90 + ∠ BAF 1为钝角，要使△ PF 1F 2为等腰三角形，必有IPF IF IF 1F 2∣, 设点P 的坐标是(x 0, y 0),y 0 0则X0 Cy ° 0 2X oa.X 。
解得y 。
e 2 3 一2 C , e 12(1 e 2)a e 2 1由 |PF 1|=|F 1F 2|得e 3)c 1c]2[2(1 2、e )a ]2 2 ] e 14c 2,两边同时除以 4a 2,化简得2 2(e 1) e 2 1从而e 2. 于是 13 1 e 2即当-时，△ 33.设 X, y R , i 、a Xi (y ■3)j, bPF 1F 2为等腰三角形[来源:Z ,xx,]j 为直角坐标平面内 y 轴正方向上的单位向量，若Xi (y √3)j ,且 a4.(I)求点P(x, y)的轨迹C 的方程;［来源学科#网］(∏)若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足 AM MB , 其中M (0,3 ),求线段AB 的长…”］3(% 目2 (X 1X 2) 0,又 y 1 X 1c, y 2 X 2 C ,3(X 1 X 22C )(X 1X 2) 0,X 1X 23 一 C. 2即 2a 2C a 2 b 2 3C-- ? 2所以a 23b 2.C ■. a 2b 26a 3故离心率eC√6.a 32 2(II )证明：(1)知a 2 3b 2 ,所以椭圆 笃 ∙y 2 1可化为X 2 3y 2 3b 2.a b设 OM (x, y),由已知得(χ, y)(x-yj(X 2, y 2),UUUr UjU UULIU 、3 uuu r6.已知在平面直角坐标系 XQy 中，向量j (0,1), OFP 的面积为2 3 ,且OF FP t,OM OP j(1)解：设椭圆方程为1(a b O),F(c,O)则直线AB 的方程为y代入 化简得(a 2 b 2)x 2 2a 2cx a 2C a 2b 20.令 A ( X 1,y 1), B (X 2, y 2),则 2a C X 1 X 222 ,X 1X 2a b2 2 2 2a C a b2Γ^2a b由 OA OBy 2),a(3, 1),OA OB 与 a 共线,X X 1 X 2, yX 1X 2.M (X l y)在椭圆上,2(X 1X 2)3( Y 12 2Y 2) 3b .即 2(X 123y 12)2(x ∣ 3y ∣) 2(X 1X 23y 1 y 2) 3b 2.①由(1)知X 1X 23c 2 2 ,a［变式新题型3］ 抛物线的顶点在原点, 点 .［来源 学科网 ］(1) 焦点在X 轴上，准线I 与X 轴相交于点A( -, 0),过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两(2) (3) 求抛物线的方程;若 FP ?FQ =0, 求直线PQ 的方程;［来源学科网］设 AP = λ AQ (λ >1),点P 关于X 轴的对称点为 M ,证明：FM =-入FQ.—m ］X 2,y 1(I) 设4 t 4 3,求向量OF与FP的夹角的取值范围；(II) 设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M,且IOFl Gt C 3 1)c2,当IOPl 取最小值时，求椭圆的方程•UIUr7•已知M(0, 2),点A在X轴上，点B在y 轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足，AP(I)当点A在X轴上移动时，求动点P的轨迹C方程;(∏)过(2, 0)的直线I与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l1、I2,当l1 I2,求直线I的方程.MQ AP 0, AP(I)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程; (∏)若直线y kx < k21与(I)中所求点的轨迹交于不同两点 F , H ,O是坐标原点，口2 一一3且OFOH ,求△ FOH的面积3 4直线X 4上.10 .如图，过抛物线X2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
(I )设点P分有向线段AB所成的比为λ证明QP (QA QB);(∏)设直线AB的方程是X— 2y+12=0,过A、B两点的圆10.已知平面上一定点C( 1,0)和一定直线I :X 4. P为该平面上一动点，作PQ I,垂足为Q ,IUrUUJrujUPB，MA AP 0 .8.已知点C为圆(X1)2 y28的圆心，点A (1, 0) , P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上,2AM.已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过3A 2,0、B 2,0、C 1,空三点.2(I)求椭圆E的方程;(∏)若直线I : y k X 1 ( k 0)与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在(PQ 2PC) (PQ 2 PC) 0.(1)冋点P在什么曲线上？并求出该曲线方程；UJU UUV UlUr⑵点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若OA OB(1 )OC,求的取值范围.11.如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF | 6 , |FG |10,且2EH EG , HP ∙GE 0 , (G为动点，P是HP和GF的交点)(1) 建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；(2) 若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B ,且线段AB的中垂线与EF9(或EF的延长线)相交于一点C ,则|OC| < 9( O为EF的中点).512 .已知动圆过定点1,0 ,且与直线X 1相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C的方程；UUn IUur(2) 是否存在直线I ,使I过点(0, 1),并与轨迹C交于P,Q两点，且满足OPoQ 0 ?若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.13.已知M (4,0), N(1,0)若动点P满足MNMP 6| NP |(1)求动点P的轨迹方C的方程；(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线I : X 2y 12 0的距离的最小值3 119.如图，直角梯形ABCD 中，∠ DAB 90 , AD // BC , AB=2 , AD= —, BC=-2 2椭圆F 以A 、B 为焦点且过点 D ,(I)建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程； (∏)若点 E 满足EC 1 AB ,是否存在斜率2k O 的直线I 与 椭圆F 交于M 、N 两点，且IMEl INEl ,若存在，求 K 的取值范围；若不存在，说明理由。
解(1)已知双曲线实半轴 a ι=4,虚半轴b ι=2∖ 5 ,半焦距C I =J 6 20 6 , •••椭圆的长半轴 a 2=c 1=6 ,椭圆的半焦距 C 2=a ι=4 ,椭圆的短半轴b 2=*6242 .. 20 ,2 2•所求的椭圆方程为 X y 136 20(2)由已知A( 6,0) ,F (4,0),设点P 的坐标为(X I y),则AP (X 6, y), FP (X 4, y),由已知得2 2X- L 1 36 20 (X 6)(X 4) y 223则2x 9x 18 0 ,解之得X —或X 6 ,23 5 L3 5 L由于y>0 ,所以只能取X ,于是y .3 ,所以点P 的坐标为 ，3 9分2 2 2 20 ,设点M 是(m,0),则点M 到直线AP 的距离是得tan[0, ] •夹角的取值范围是( ，一)4 3.........6分(2)设P(x °,y °),则FP(X 0 c,y °),OF (c,0).又•••点M 在椭圆的长轴上，即 •当m 2时，椭圆上的点到 d 2(X2)24x 6 m 6M (2,0)的距离5X 2 20 一 9 9时，2•解：(1) 由 2 31∣ OF|249(X9)2152d 取最小值-15| FP | Sin ,得 ∣OF | | FP | -'3,⅛ CoS SinOF FP LSi^ ,IOF | | FP |(3)直线 AP : X ,3y 6 4 t 431 tan 3IUU Ult 2OF FP (X o Gy o)(C,0) (x°C)C t (、一3 1)c1 UULrS OFP -|OF| | y o | 2.3 y°........................................................................................................................ 8分IC UU I ■ X1 2 y2“( 3c)2 (4c3)223C4C3 2 6 .................................... 10分•••当且仅当,3c 归,即C 2时,∣0P∣取最小值2∙..6,此时,OP (23, ^..3)C3OM 一(2 3,2 3) (0,1) (2,3)3椭圆长轴2a (2 2)2(3 0)2(22)2(3 0)28 a 4,b212或2a . (2 2)2(1 0)2-,.(2 2)2(1故所求椭圆方程为2X2y1.或2X161291720)2 1 ■ 17 a 1— ,b2-1—H2 2y2I........................ 14 分解：(I)：OP OQQ=0, 则X1X2+ y1y2= 0,又P、Q在抛物线上，• y12= 2px1, y22= 2px2,y12y222…2p 2p+ y1y2= 0, y1y2=—4p ,•“1y2|= 4p2,又|y1y2|= 4, • 4p2= 4, p=1 .(∏)设E(a,0),直线PQ 方程为X = my + a ,X= my + a联立方程组y2=2pX ,消去X 得y2—2pmy—2pa= 0 ,•y1y2=—2pa , ①设F(b,0), R(X3,y3),同理可知：y1y3=—2pb ,②由①、②可得y2=b a ,③若TR = 3TQ ,设T(c,0),则有(X3 —c,y3 —0) = 3(X2—c,y2 —0),•y3= 3y2 即 ^= 3, ④y21 1712 X o '一 3c4.3C或OM ¥(2曲2爲)(0,1) (2, 1) 12分3分4分5分6分7分8分10分11分将④代入③，得b= 3a.又由(I)知，OP OQ = 0 ,∙'∙y 1y 2 = — 4p 2，代入①，得一 2pa =- 4 p 2 ∙a = 2p, .......................... 13 分∙ b = 6p,故，在X 轴上，存在异于 E 的一点F(6p,0),使得 TR = 3TQ . .................... 14分注：若设直线 PQ 的方程为y = kx + b ,不影响解答结果.(I)解：设 P (X I y)则UIlDUJUAP (XX A , y)PB (X , y By ) ........................................................ …2 分JUr IJJJ 由 APPB 得X A 2χ, y B2y ................................................................. ..4 分UUIr UUJ UUIr UJU又 MA (X A , 2) AP (X X A , y)即 MA (2 X ,2), AP ( X l y) (6)分Uur UUJ O由 MA AP 0 得 X y(y 0) .................................................................................. ..8分(∏)设 E(X ι, y ι), F(X 2,y 2)2 2∙ 4a 2a 3a ,∙所求椭圆C 的方程为X 2y 2 1.因为y' X,故两切线的斜率分别为X 1、X 210分2X 由方程组 y 2y k(X 2)得 X 2 2kX4k 0 X 1 X 2 2k X 1 X 2 4k..12当l 1l2时，，X 1 X 21 ,所以k所以，直线I 的方程是I(X2)解：(I )∙∙∙ MF 2 X 轴，∙∣MF 2∣ τ∣MF 1∣2 (2c)1-,由椭圆的定义得： 2(2a -)2 4c 2 -24∣MF 1 | 22a ，(∏ )由(I)知点 A( — 2,0),点B 为(0,— 1),设点P 的坐标为(X, y)UiH IUU则 PA ( 2 X I y), AB (2, 1),Ulll UJU由 PAAB m — 4 得一42x y m 4 , •••点P 的轨迹方程为y 2x 设点B 关于P 的轨迹的对称点为 B'(χo ,y o ),则由轴对称的性质可得: y o 1 Xo1 y o 1 2， 22 X o解得: X o 4 4m 5 ，y o2m •点B'(x o ,y °)在椭圆上，• 3 5 ，Z 4 4m 、2 _2m 3、2 ( ---------- )4( 5 11 分 5 ) 4 ,整理得 2m 2o 解得m•点P 的轨迹方程为y 2x1 或 y 2x 3， 13经检验y 2x 1和y 2x 3 都符合题设, 2 •满足条件的点 P 的轨迹方程为y 2x 1或y 2x3 4y 得X ’ '4kx 4m o. ① 设A 、B 两点的坐标分别是( X 1,y 1)、(x 2,y 2),则 所以 X 1X 2 4m.由点 P (o , m )分有向线段 AB 所成的比为，得: X 1 X o ,即X 11X 2又点 Q 是点 P 关于原点的以称点，故点 Q 的坐标是(o , --m ),从而QP(o,2m) QAQB (X 1,y 1 m)(X 2, y 2 m)√X 1X 2,y 1y 2 (1 )m). QP (QA QB) 2m[ y 1y 2(1)m]解(I )依题意，可设直线AB 的方程为y kx m ,代入抛物线方程X 2 22X 2X 1、 =2畤X X 2 4(I t )m]343= 2m(x 1 x 2)x 1x 2 4m4X^ = 2m(x 1 x 2)4m 4m 4X 2=0,所以OP (QAQB)..X由22y 12 0,得点A 、 X 4y,由X 24y 得y1 2 -X , yB 的坐标分别是（ 所以抛物线(∏) X 2 4y 在点A 处切线的斜率为 y6, 9)、(--4 , 4)。