浦东新区初三教学质量检测数学试卷 （2015.4.21）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列等式成立的是（ ）（A ）2222-=-； （B ）236222=÷； （C ）5232)2(=； （D ）120=． 2．下列各整式中，次数为5次的单项式是（ ）（A ）xy 4； （B ）xy 5； （C ）x+y 4；（D ）x+y 5．3．如果最简二次根式2+x 与x 3是同类二次根式，那么x 的值是（ ） （A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）2． 4．如果正多边形的一个内角等于135度，那么这个正多边形的边数是（ ） （A ）5； （B ）6； （C ）7； （D ）8． 5．下列说法中，正确的个数有（ ）①一组数据的平均数一定是该组数据中的某个数据； ②一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数据； ③一组数据的众数一定是该组数据中的某个数据． （A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个．6．已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列结论中正确的是（ ）（A ）当AB =BC 时，四边形ABCD 是矩形； （B ）当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是矩形； （C ）当OA =OB 时，四边形ABCD 是矩形；（D ）当∠ABD =∠CBD 时，四边形ABCD 是矩形． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：23-= ． 8．分解因式：x x 43-= ． 9．方程43+=x x 的解是 ．10．已知分式方程312122=+++x x x x ，如果设x x y 12+=，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ．11．如果反比例函数的图像经过点（3,-4），那么这个反比例函数的比例系数是 ． 12．如果随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，那 么正面朝上的数字是合数的概率是 ．13．为了解某山区金丝猴的数量，科研人员在该山区不同的地方捕获了15只金丝猴，并在它们的身上做上标记后放回该山区．过段时间后，在该山区不同的地方又捕获了32只 金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，由此可以估计该山区金丝猴的数量约有 只．14．已知点G 是△ABC 的重心，m AB =，n BC =，那么向量AG 用向量m 、n 表示为 ． 15．如图，已知AD ∥EF ∥BC ，AE=3BE ，AD =2，EF =5，那么BC = ．16．如图，已知小岛B 在基地A 的南偏东30°方向上，与基地A 相距10海里，货轮C 在基地A 的南偏西60°方向、小岛B 的北偏西75°方向上，那么货轮C 与小岛B 的距离是 海里． A B C DE F （第15题图）CAD B （第18题图）17．对于函数()2b ax y +=，我们称[a ,b ]为这个函数的特征数．如果一个函数()2b ax y +=的特征数为[2,-5]，那么这个函数图像与x 轴的交点坐标为 ．18．如图，已知在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC =4，BC=2，将△ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在点E 处，联结AE ，那么线段AE 的长度等于 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）化简并求值：12)111(22+-÷-+x x x x ，其中12+=x ． 20．（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧->--≥+,1262,6325x x x x 并写出它的非负整数解．21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知：如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，以点D 为圆心、CD 为半径作半圆，分别与边AC 、BC 相交于点E 和点F ．如果AB =AC =5，cos B =54，AE =1． 求：（1）线段CD 的长度；（2）点A 和点F 之间的距离．22．（本题满分10分）小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米．他上午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚．假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米，求小张上山时的速度．C（第21题图）23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为点E ，AF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）如果AB =AD ，求证：EF ∥BD ；（2）如果EF ∥BD ，求证：AB =AD ．24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知：如图，直线y =kx +2与x 轴的正半轴相交于点A （t ,0）、与y 轴相交于点B ，抛物线c bx x y ++-=2经过点A 和点B ，点C 在第三象限内，且AC ⊥AB ，tan ∠ACB =21．（1）当t =1时，求抛物线的表达式； （2）试用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）如果点C 在这条抛物线的对称轴上，求t 的值．（第24题图）A B C DE F（第23题图）25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC 中，射线AM ∥BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB =4，BC =6，∠B =60°． （1）求证：BP AD AP ⋅=2；（2）如果以AD 为半径的圆A 与以BP 为半径的圆B 相切，求线段BP 的长度；（3）将△ACD 绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时∠BEP 的余切值．A B C P D （第25题图） M AB C （第25题备用图）M浦东新区初三教学质量检测数学试卷参考答案及评分说明一、选择题1．D ； 2．A ； 3．C ； 4．D ； 5．B ； 6．C ． 二、填空题7．32-； 8．)2)(2(-+x x x ； 9．4=x ； 10．0232=+-y y ； 11．12-；12．31； 13．120； 14．n m ρρ3132+； 15．6； 16．210； 17．）（0,25； 18．558．三、解答题19．解：原式=12122+-÷-x x x x x …………………………………………………………（2分） =22)1(1x x x x -⋅-………………………………………………………………（2分） =xx 1-．………………………………………………………………………（2分） 把12+=x 代入，得 原式=)12)(12()12(2122-+-=+………………………………………………（2分）=22-．……………………………………………………………………（2分） 20．解：由6325-≥+x x ，得4-≥x ．…………………………………………………（3分）由1262->-xx ，得2<x ．………………………………………………………（3分） ∴不等式组的解集是24<≤-x ．………………………………………………（2分）∴此不等式组的非负整数解是0、1．…………………………………………（2分） 21．解：（1）作DH ⊥CE ，垂足为点H ．∵D 为半圆的圆心，AC =5，AE =1，∴221==EC CH ．……………………（2分） ∵AC AB =，∴C B ∠=∠．……………………………………………………（1分） ∴54cos cos ==B C ．在Rt △CDH 中，∵54cos ==CD CH C ，CH =2，∴25=CD ． …………………（2分）（2）作AM ⊥BC ，垂足为点M ，联结AF ．∵25=CD ，∴5=CF ．…………………………………………………………（1分）在Rt △ACM 中，∵54cos ==AC CM C ，5=AC ，∴4=CM ．………………（1分）∴3452222=-=-=CM AC AM ．…………………………………………（1分）∵CF =5，CM =4，∴1=FM ．……………………………………………………（1分） ∴10132222=+=+=FM AM AF ．………………………………………（1分）22．解：设小张上山时的速度为每小时x 千米．…………………………………………（1分） 根据题意，得711212=++x x ．…………………………………………………（4分）化简，得 0121772=--x x ．…………………………………………………（2分）解得 31=x ，742-=x ．…………………………………………………………（1分） 经检验：3=x ，742-=x 都是原方程的解，但742-=x 不符合题意，舍去．（1分）答：小张上山时的速度为每小时3千米．……………………………………………（1分）23．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABE=∠ADF ．…………………（1分） ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB=∠AFD=90º． ……………………（1分） ∵AB =AD ，∴△ABE ≌△ADF ． ………………………………………（1分） ∴BE =DF ．…………………………………………………………………（1分）∵BC =AD =AB =CD ，∴CDDFBC BE =．……………………………………（1分） ∴EF ∥BD ．………………………………………………………………（1分） （2）∵∠ABE=∠ADF ，∠AEB=∠AFD ，∴△ABE ∽△ADF ．…………（1分）∴ADABDF BE =．……………………………………………………………（1分） ∵EF ∥BD ，∴CDDFBC BE =．……………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC ．∴AB DFAD BE =．……………………………………………………………（1分） ∴AB ADDF BE =． ∴ABADAD AB =，即22AD AB =．…………………………………………（1分） ∴AB =AD ．…………………………………………………………………（1分） 24．解：（1）∵t =1，y =kx +2，∴A (1,0)，B (0,2)．………………………………………（1分）把点A (1,0)、B (0,2)分别代入抛物线的表达式，得⎩⎨⎧=++-=.2,10c c b …………………………………………………………（1分）解得⎩⎨⎧=-=.2,1c b∴所求抛物线的表达式为y =-x 2-x +2．……………………………………（1分）（2）作CH ⊥x 轴，垂足为点H ，得∠AHC =∠AOB =90°． ∵AC ⊥AB ，∴∠OAB +∠CAH =90°．又∵∠CAH +∠ACH =90°，∴∠OAB =∠ACH ．∴△AOB ∽△CHA ．…………………………………………（1分）∴ACABAH OB CH OA ==． ∵tan ∠ACB =21=AC AB ，∴21==AH OB CH OA ．…………………（1分） ∵OA =t ，OB =2，∴CH =2t ，AH =4．…………………………（1分） ∴点C 的坐标为(t -4,-2t )．…………………………（1分）（3）∵点C (t -4,-2t )在抛物线y =-x 2+bx +c 的对称轴上，∴24bt =-，即82-=t b ．………………………………………（1分）把点A (t ,0)、B (0,2)代入抛物线的表达式，得-t 2+bt +2=0． …………（1分）∴02)82(2=+-+-t t t ，即0282=+-t t ． ………………（1分） 解得t =144±．………………………………………………（1分） ∵点C (t -4,-2t )在第三象限，∴t =144+不符合题意，舍去． ∴t =144-．……………………………………………………（1分） 25．解：（1）∵AM ∥BC ，∴∠PAD =∠APB ．∵∠APD =∠B ，∴△APD ∽△PBA ．…………………………（1分） ∴BPAPAP AD =．………………………………………………………（1分） ∴BP AD AP ⋅=2．………………………………………………（1分） （2）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵∠B =60°，AB =4，∴BH =2，32=AH ．………………（1分） 设BP =x ，那么2-=x PH ．∴164)32()2(2222+-=+-=x x x AP ．………………………（1分）∴xx x BP AP AD 16422+-==．…………………………（1分） 而AB =4，BP =x ，因此（i ）如果两圆外切，那么41642=++-x xx x ．整理，得0842=+-x x ．∵08442<⨯-=∆，∴此方程无实数解．…………………（1分）（ii ）如果两圆内切，那么41642=-+-x xx x ．解得x =2．…………………………………………………………（1分） 或41642=+--xx x x ．此方程无解．………………………………………………（1分） 综上所述，如果两圆相切，那么BP =2． （3）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．由题意，可知AD =AB =4，即41642=+-xx x ．…………………（1分）∴x =4．………………………………………………………（1分） 又∵BC =6，BH =2，∴CH =4． ∴AD =CH ．∵AD ∥CH ，∴四边形AHCD 是平行四边形． ∵∠AHC =90°，∴平行四边形AHCD 是矩形．∴∠ABE =∠ADC =90°，…………………………………（1分）EB =CD =32．……………………………（1分） 过点P 作PK ⊥BE ，垂足为点K ． ∵∠ABC =60°，∴∠PBK =30°． 又∵BP =4，∴PK =2，BK =32． ∴EK =34．∴cot ∠BEP =32．………………………………（1分）。