识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题
的思路，创造性地解决问题。 这对高中学生数学创新意识的培
养提出了较高的要求。 在圆锥曲线教学中如何培养高中生的
数学创新意识呢？ 我从以下几方面进行探讨。
1.牢固掌握数学基础知识是培养学生数学创新意识的前提
所谓“推陈出新”是指有“陈”才有“新”。 在数学教学中的
“陈”很大一部分包括的是数学基础知识。
在 近 年 的 普 通 高 中 全 国 统 一 高 考 试 题 中 基 础 题 占 80%，
这体现了掌握基础知识的重要性， 只有牢固掌握数学基础知
识，才能对数学有较深的理解，在数学上有所创新。
2
2
案例1.已知椭圆C： x + y =1，直线l：y=ax+b。
42
度思考后极易说出符合题意的的值（结果不唯一）。 问题（1）让
学生直观感受直线l和椭圆C相交的情形。
问题 （2）则 旨 在 让 学 生 探 求 直 线 和 椭 圆 相 交 时 的 一 般 情
形 ，是 对 问 题 （1）的 提 升 。
问题（3）的提出，是对问题（1）（2）的呼应。 它可以从“直线
l过 定 点 （1，1）”的 几 何 角 度 去 解 ，也 可 以 利 用 （2）的 结 果 这 个
代数角度去解决。 旨在引导学生领悟：处理直线和圆锥曲线的
位置关系的方法，有代数方法与几何方法。
这3个问题是层层跃进，让学生“感受”了“从特殊到一般”
再“从一般到特殊”的思维历程。 在此过程中，有的学生开始思
考，提出了下列问题。
解 ：（1）当 m-1=0，即 m=1时 ，复 数 z是 实 数 ；
（2）当 m-1≠0，即 m≠1时 ，复 数 z是 虚 数 ；
（3）当 m+1=0，且 m-1≠0时 ，即 m=-1时 ，复 数 z是 纯 虚 数 。
例 3：已 知 （2x-1）+i=y-（3-y）i，其 中 x，y∈R，求 x与 y。
∈ 解 ：根 据 复 数 相 等 的 定 义 ，得 方 程 组
2x-1=y， 1=-（3-y）
，
所
以
x
=
5 ，y=4。 2
（四）练习（达标）。
这 就 是 说 ，如 果 a，b，c，d∈R，那 么 a+bi=c+di圳a=c，b=d。
复数相等的定义是求复数值， 在复数集中解方程的重要
依据。 一般的，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大
小。 如3+5i与4+3i不能比较大小。
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？
不对如果两个复数都是实数， 就可以比较大小只有当两个
C.直 线 l上 的 所 有 点 都 不 是 “●● 点 ”
D.直 线 l上 有 无 穷 多 个 点 （点 不 是 所 有 的 点 ）是 “●● 点 ”
此 题 主 要 考 查 学 生 对 “●●点 ”的 理 解 ，考 查 了 学 生 的 阅
读理解能力，学生的学习潜力，学生分析问题和解决问题的能
力，培养了学生的创新能力。
（三）典例剖析（重引导，由学生比较概念得到结论）。
例 1. 请 说 出 复 数 2+3i，-3+
1
i，-

1
i，-
%
姨
3
-
%
姨
5
i的实部
23
和虚部，有没有纯虚数？
答
：
它
们
都
是
虚
数
，
它
们
的
实
部
分
别
是
2
，-3，0，-
%
姨
3
；虚
部分别是3，
1
，-
1
，-
%
姨
5
；-
1
i是纯虚数。
23
3
例2： 实 数 m 取 什 么 值 时 ， 复 数 z=m+1+（m-1）i 是 ： （1） 实 数 ；
关键词： 圆锥曲线 教学 培养 创新意识
创新意识是指人们根据社会和个体生活发展的需要，引
起创造前所未有的事物或观念的动机， 并在创造活动中表现
出的意向、愿望和设想。
近几年的全国高考数学考试大纲提出， 考试内容中能力
要求之一是创新意识，即对新颖的信息、情境和设问，选择有
效的方法和手段分析信息， 综合与灵活地应用所学的数学知
加、 乘运算律仍然成立。 如：ai+bi=（a+b）i，ai-bi=（a-b）i，aibi=
abi=-ab，ai/bi=a/b（b≠0）。
2.与 -1的 关 系 。
2
2
i就是-1的一个平方根，即方程x =-1的一个根，方程x =-1
的 另 一 个 根 是 -i。
3.i的 周 期 性 。
4n+1
4n+2
切线。
此性质是在圆锥曲线通径定义的基础上得出的， 也是学
（五）小结。 这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定 义、实部、虚部，以及有关分类问题，复数相等的充要条件，等 等。 基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性 质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复 数问题转化为实数问题。 五、课后反思的三个方面 （一）学生对概念的掌握。 （二）数的发展和完善过程给学生的启示。 （三）学生对类比、转化的数学思想的掌握。
4n+3
4n
i =i，i =-1，i =-i，i =1。 此部分由学生发现得到。
4.复 数 的 定 义 。
形如a+bi（a，b∈R）的 数 叫 复 数 ，a叫 复 数 的 实 部 ，b叫 复 数
的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
5.复 数 的 代 数 形 式 。
复 数 通 常 用 字 母 z表 示 ，即 z=a+bi（a，b∈R），把 复 数 表 示 成
（2）虚 数 ；（3）纯 虚 数 。
周刊 2010年第16期 ○ 数学教学与研究
在圆锥曲线教学中培养学生创新意识探究
庹中友
（遵义师范学院 数学系，贵州 遵义 563000）
摘 要： 随着新课程改革在全国全面展开，在数学教学 中如何培养学生的创新意识就显得特别重要。 本文作者在圆 锥曲线教学中，从抓基础、重阅读理解等四个方面对培养学生 创新意识作了初步探讨， 试图使圆锥曲线教学更适合新 “课 改”的理念。
（1）请 你 具 体 给 出 a，b的 一 组 值 ，使 直 线 l和 椭 圆 C相 交 。
（2）直 线 和 椭 圆 C相 交 时 ，a，b应 满 足 什 么 关 系 ？
（3）若 a+b=1，试 判 定 直 线 l和 椭 圆 C的 位 置 关 系 。
问 题 （1）是 个 开 放 题 ， 此 题 设 计 使 学 生 从 形 和 数 这 两 个 角
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叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的
对象和工具。
2.学生对 此 部 分 内 容 在 了 解 的 基 础 上 要 能 够 产 生 学 习 复
数的兴趣和好奇心。
（二）概念讲解部分（此过程应按部就班，层层递进）。
1.虚 数 单 位 i。
2
（1）它的平方等于-1，即i =-1。
（2）实数可 以 与 它 进 行 四 则 运 算 ，进 行 四 则 运 算 时 ，原 有
此题涉及到的知识有韦达定理、 弦长公式、 中点坐标公
式、两直线互相垂直的充要条件、点到直线的距离，等等。 只有
掌握这些基础知识，学生的思维才能得到充分的锻炼。
2.提高学生数学阅读理解能力是培养学生创新意识的关键
学生有了较强的数学阅读理解能力，就能正确理解题意，
也就能产生创新思维，创新能力得到培养。
案 例2：（2009年 高 考 北 京 理 科 卷 ，选 择 题 第8题 ）点P在 直
力学、热力学、机翼理论的应用；渗透到代数学、数论、微分方 程等数学分支。 复数在理论物理、弹性力学、天体力学等方面 得到了广泛应用，是现代人才必备的基础知识之一。
复数在高考中的地位逐渐下降：题量减少，难度降低。 通 常就考一题，或者是客观题，或者是主观题，均为中低档难度 题。 复数的概念与代数的运算是本章的基础知识，也是高考的 必考内容。
2
到实数集R以后，像x =-1这样的方程还是无解的，因为没有一 个实数的平方等于-1。 由于解方程的需要，人们引入了一个新 数i，叫做虚数单位，并由此产生的了复数。
由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入， 经过达朗 贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所 接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示、指数表示 等。 它满足四则运算等性质。 它是复变函数论、解析数论、傅里
此概念主要是抓住了抛物线通径定义中的过焦点，引轴
的垂线进行的创新。
3.2性 质 的 创 新
如上定义，我们可得出椭圆的又一性质。
2
2
性 质 ：过 椭 圆 x + y =1（a＞b＞0）的 焦 点F垂 直 于 长 轴 的 直
2
2
ab
线l，l交椭圆于P、Q两点， 过点P作关于直线l对称的直线l1，l2分
别交椭圆于另外两点M、N， 则直线MN平行于椭圆在Q点处的
a+bi的 形 式 ，叫 做 复 数 的 代 数 形 式 。
6.复 数 与 实 数 、虚 数 、纯 虚 数 ，以 及 0的 关 系 。
对 于 复 数 a+bi（a，b∈R），当 且 仅 当 b=0 时 ， 复 数 a+bi （a、b∈
R）是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫 做 虚 数 ；当a=0且b≠0时 ，
复 数 不 全 是 实 数 时 才 不 能 比 较 大 小 。 如3+5i与4+3i不 能 比 较