6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解 第一部分：知识点讲解 1、学前准备【旧知回顾】
2.平方根
（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，
也叫做二次方根。

即若a x =2
，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。

即有a x ±=，（0≥a ）。

（2）平方根的性质：
（3）注意事项：
a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。

（4）求一个数平方根的方法：
（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。

它与平方互为逆运算。

3. 算术平方根
（1）算术平方根的定义：若a x =2
，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。

即有a x ±=，
（0≥a ）。

其中a x =叫做a 的算术平方根。

（2）算术平方根的性质：
（3）注意点：在以后的计算题中，像2
2-52）（++，其中，25分别指的是2和
5的算术平方根。

4.几种重要的运算： ① b a ab •=
()0,0>>b a , ab b a =•()0,0>>b a
②
b a b a =)0,0(>≥b a , b a
b
a =
)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2
-）（
★★★ 若0<+b a ，则()b
a b a b a b a --=+-=+=+2
)(
5.立方根
（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也
叫做三次方根。

即若a x =3
，则x 叫做a 的立方根。

即有3a x =。

（2）立方根的性质：
（3）开立方
求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。

6.几个重要公式： ③ 33
3
b a ab •=
, 3
33ab b a =•
33
3
b a b a = )0(≠b , 333
b a b
a = )0(≠b
④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --3
3
=）（
第二部分：例题讲解
题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。

1.求平方根、算术平方根、立方根。

（1）0的平方根是 ，算术平方根是 . （2）25的平方根是 ，算术平方根是 . （3）
64
1
的平方根是 ，算术平方根是 . （4）2
)9(-的平方根是 ，算术平方根是 . （5）23的平方根是 ，算术平方根是 . （6）16的平方根是 ，算术平方根是 .
(6)2
16）（-的平方根是 ，算术平方根是 .
(8)9-的平方根是 ，算术平方根是 . （9）125
8
-
的立方根是 。

（10） 0的立方根是 。

（11）64的立方根是 。

（12）2
8）（-的立方根是 。

题型2：计算类题型 2. 计算下列各式的值 （1）25412181--
（2）25)8(2
+-- （3）100)16
1()41(-⨯-⨯-
（4）3
027.0 （5）3
216125-
- （6）3833- （7）3
16437
-
题型3：利用平方根、立方根的定义解方程 3. 求下列各式中x 的值。

（1）1962
=x ； （2）01052
=-x ； （3）()2
336-x －25=0．
（4）4)125(2-=-+x （5）2
2)5(1125-=-x （6）16)14
(2=--x
（7）1253
=x （8）1319)3(213-=+-x （9） 0)7(7
1
23=--x
题型4:利用算术平方根的双重非负性解决问题
4.已知027643
3
=-++b a ，求b
b a )(-的立方根。

5.（2014春台山市校级期末）已知0242=++-y x x ，则y x -的值为（ ） A. 2 B.6 C.2或2- D. 6或6-
6.（2012秋西湖区校级月考改编题）已知b a ,为实数，且01)1(1=---+b b a ，求
20162015b a -的值（ ）
A. 0
B.1-
C.1
D. 2-
7.（2015春利川市校级期中）已知33-=-x x ，x x -=-10)10(2，化简
2)2(12-+-x x 。

8. 若02)3(12
=--+++-z y x y x ，求z y x ++的算术平方根。

9. 已知y x ,都是有理数，且322+-+-=x x y 。

求y x -2的值。

10. 若22=-+a a ，求2+a 的值。

11.若式子1
1
-x 有意义，化简21++-x x 。

12. 当x 为何值时，612++x 有最小值，最小值为多少？
13.（2017春三亚校级月考）已知：：字母b a ,满足021=-+-b a ，求
)
2011)(2011(1...)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值。

14.（2017春三亚校级月考改编题）已知：：字母b a ,满足031=-+-b a ，求
)
2018)(2018(1...)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值。

题型5：已知平方根，算术平方根，立方根，求被开方数。

15.已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的算术平方根是4，求b a 24
1
+的值。

16..（2015秋北塘区期末改编）已知b a -2的平方根是3±，13-+b a 的算术平方根是4，求1155++b a 的算术平方根。

17.（2016秋资中县月考）一天，杨老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为6-m ，它的平方根为)22
1(-±m ，求这个数。

18.（2017秋扶风县期中）一个正数x 的两个平方根分别是12-a 与2+-a ，求a 的值和这个正数x 的值。

19.已知12-x 的平方根是6±，12-+y x 的算术平方根是5，求632--y x 的立方根。

题型6：与二元一次方程相结合的题型
20. 已知1,2==y x 满足方程4=+ny x ，同时也满足方程0=-ny mx ，求n m -6的平方根。

21.已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩
⎨⎧=+=-40
ny x ny mx 的解，求n m -6的平方根。

题型7：与数轴有关的题型
22. 有理数b a ,在数轴上的位置如图所示，化简b a b a b a ++---2
22)(。

题型8：应用类题型
23.将一个体积为643
cm 的正方体木块锯成8个同样大小的小正方题木块，则每个小正方体木块的棱长为多少？
24.（2016秋怀远县期中）请根据光头强与熊二的对话内容回答下列问题
（1）求该魔方的棱长 ； （2）求该长方体纸盒的长。

题型9：规律探究题 25.计算下列各式的值：
=+1992 ；=+199992 ；=+19999992 。

观察结果，总结存在的规律，运用规律可得{
{=+9
20162
9
20169991999个个 。

（结果请用科学计数法表示）
26.（1）算一算：94⨯= ，94⨯= ；
99
25
⨯= ，9925⨯= 。

（2）想一想：对于实数b a ,，有b a ⨯= 。

（a 0，b 0） （3）用一用，运用以上信息求值： ①10006.3⨯= 。

②12109.4⨯= 。

27.（2014秋安岳县校级月考）先观察下列等式，再回答问题： ①2111111112111122=+-+=++
；②61
11212113121122=+-+=++； ③12
111313114131122=+-+=++
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想2
251
411++
的结果，并进行验证；
（2）根据上面的规律，可得2
2101911++
= 。

（3）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n （n 为正整数）表示的等式，并加以验证。

28.（2014春文昌校级期中）在草稿纸上计算：①31；②3321+；③3
321+；④
33334321+++，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值=+++++3333328...4321 。

29.（2012秋无为县期中）先观察下列各式，,15
4
41544,833833,322322===则第6个式子为 。

30.（2017崇仁县校级模拟）有一组数据，按规定填写是：3，4，5，41，66，107，则下一个数是 。

31.（2014咸宁）观察分析下列数据：,...,23,15,32,3,6,3,0---根据数据排列的规律得到第16个数据应是 。