函数单调性的充要条件及应用
郑定华
1. 有关结论
新教材第三册中给出了函数的单调性的充分条件：
一般地，设函数在某个区间有导数，如果在这个区间内，那么f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y”<0，那么f(x)为这个区间内的减函数。

利用这一结论求复杂函数的单调区间十分方便，但要解决单调性的逆向问题，利用单调性的充要条件更加方便。

函数单调性的充要条件：
（1）对于可导函数，如果方程在某个区间上至多有孤立解，那么在这个区间上，f(x)为增函数的充要条件是；f(x)为减函数的充要条件是。

（2）连续函数在闭区间[a，b]与开区间（a，b）上具有相同的单调性。

2. 应用
例1. 若函数在区间（1，4）内为减函数，且在区间（6，）内为增函数，求实数a的取值范围。

解：，其图象开口向上，对称轴为直线
由在区间（1，4）内为减函数知对恒成立
即
解得
由在区间（6，）内为增函数知对恒成立
或
解得
综上，得
例2. 已知函数在区间上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减，且
（1）求的表达式；
（2）设，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

解：（1），其图象开口向上
因为f(x)在区间上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减
所以当时，取得极值
故，得
所以
因为f(x)在区间[-2，2]上单调递减
所以对恒成立
即
解得
又，所以b＝0
于是
所以
（2）对任意的，不等式恒成立，等价于在区间上，。

由，得
所以f(x)的减区间为[-2，2]
由，得
所以f(x)在区间上单调递减
当时
故
即
解得或
又
所以。