D 1 0
Fb l a 3 F l C l D 0 2 2 6 l 6
3
C a C a D 1 2 2
C 1 C 2
Fb 2 2 C C l b 求得： 1 2 6 l D D 0 1 2


Fb 12 2 2 w l b x AD段： q 1 1 2 lEI 3 Fbx 2 2 2 w l b x 1 6 lEI
b) x l 时，w 2 0
Fb l a 3 F l C l D 0 2 2 6 l 6
3
Fb2 x AD段： EI w C 1 1 2 l Fb3 EIw x C x 1 1 6 l 2 Fb x a 2 F DB段： EI w x C 2 2 2 l 2 3 Fb F x a 3 EIw x C x D 2 2 2 6 l 6
Ⅱ
B
x
qA
x1 a wC wmax
qB
b
y
当载荷作用在梁的中点，即a=b=l/2时，其最大转 角和挠度为：
Fl qmax 16EI
2
Fl w w m ax C 48 EI
3
1. 关于分段的确定 原则：挠曲线微分方程发生了变化，均需分段。
2. 位移条件 边界条件：
w’=0，w=0 w=0
w M x 挠曲线的近似微分方程： EI
1 M 推广至横力弯曲 1. 将纯弯曲的公式 EI
2. 取w’0
x
M
y M<0 w″<0 x M y
Mx w EI Mx w EI
M>0
w″>0
EI w M x
EI w M x d x C
第5章 梁弯曲时的位移 (Displacement)
§5-1 梁的位移—挠度及转角
q (转角)
A B x C1 y
w(挠度)
挠度(Deflection)： 向下为正 转角(Rotation) ：顺时针为正 挠曲线方程： w=f(x) 转角方程： q tan q w f x
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
1. M(x)=0的区段，挠曲线为斜直线； 2. M(x)≠0的区段， 挠曲线为曲线；
3. M(x)>0的区段， 挠曲线为下凸； 4. M(x)<0的区段，挠曲线为上凸； 5. M(x)=0的截面， 挠曲线出现反弯点；
位移连续条件： a) x a 时，w 1 w 2
Fb Fb 3 3 a C a a C a D 1 2 2 6 l 6 l C a C a D 1 2 2
Fb2 x AD段： EI w C 1 1 2 l Fb3 EIw x C x 1 1 6 l 2 Fb x a 2 F DB段： EI w x C 2 2 2 l 2 3 Fb F x a 3 EIw x C x D 2 2 2 6 l 6 b) x a 时，w 1' w 2' Fb Fb 2 2 a C a C 1 2 2 l 2 l C 1 C 2
4）确定积分常数 位移边界条件： a) x 0时，w 1 0
D 1 0 Fb3 EIw x C x 1 1 6 l
பைடு நூலகம்
Fb2 x AD段： EI w C 1 1 2 l Fb3 EIw x C x 1 1 6 l 2 Fb x a 2 F DB段： EI w x C 2 2 2 l 2 3 Fb F x a 3 EIw x C x D 2 2 2 6 l 6




Fb l 2 1 2 2 2 l w x a b x DB段： q 2 2 2 lEI b 3


Fb l 3 2 2 3 w x a l bx x 2 6 lEI b


A
l/2 Ⅰ
F
C D
EIw [ M x d x ] d x Cx D
例：弯曲刚度为 EI的悬臂梁如图，求梁的挠曲线方程 及其最大挠度wmax。 q 解： x截面处弯矩方程为：
0
A
1 2 x q M l x l 0 2 y q0 2 w M x l x 梁的挠曲线方程： EI 2 q0 q 3 2 0 dx l x C EI w l x 2 6 q q 4 3 0 0 l x Cx D EIw [ ( l x ) C ] d x 24 6
Fb2 x AD段： EI w C 1 1 2 l Fb 3 EIw x C x D 1 1 1 6 l 2 Fb x a 2 F DB段： EI w x C 2 2 2 l 2 3 Fb F x a 3 EIw x C x D 2 2 2 6 l 6
w=Δ
连续条件：
w1’= w2’ ， w1= w2 w1=w2
混合条件：
w1’= w2’ w1=0 w1’= w2’ w1= Δ w2= Δ
w2=0
EI w M x
EI w M x d x C
EIw [ M x d x ] d x Cx D
Fb2 x AD段： EI w C 1 1 2 l Fb 3 EIw x C x D 1 1 1 6 l 2 Fb x a 2 F DB段： EI w x C 2 2 2 l 2 3 Fb F x a 3 EIw x C x D 2 2 2 6 l 6
x B x
q 3 0 EIw ' l x C 6 q 4 0 EIw l x Cx D 24
利用位移条件确定积分常数： 边界条件： 1）x 0 处 w0
q0 4 l D0 24 q0l 4 D 24
q 3 0 EIw ' l x C 6 4 q q l 4 0 EIw l x Cx 0 24 24 0 2）x 0 处 w q0 3 l C 0 6 3 q 0l C 6 3 q l 1 q 3 0 0 ] w ' [ l x EI 6 6 3 4 q l q l 1q 4 0 0 x w [ l x 0 ] EI 24 6 24
纯弯曲时：
1 M EI
w 1 x 1w 2


3 2
2 1 w 1 因为在小变形情况下：
Mx w EI
x M
y
M>0
w″<0
x
M y M<0 w″>0
Mx w EI Mx w EI
Mx w EI
l 1 q 3 q 0 0 ] w ' [ l x EI 6 6 3 4 q q l q l 1 0 4 0 x w [ l x 0 ] EI 24 6 24
当x=l时：
3
q 0l 3 qm ax w ' xl 6 EI
q 0l 3 w w ' xl max 8 EI
例：求图示弯曲刚度为 EI 的简支梁的挠曲线和转角 方程，并确定其最大挠度和最大转角。
x
F D B x b l
A
a
y
解： 1）求弯矩方程
Fb x AD段：M 1x l Fb x x F x a DB段：M 2 l
2）梁的挠曲线方程
3）积分
b w M x F x AD段： EI 1 1 l b xa F x F w M x DB段：EI 2 2 l