中考专题---- 二角形•选择题（共3小题）1如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC 于点M、N .若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A. 2 2 B• 1 2 C. 5 2 D.4 2-a ^a ^a - a349^考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质.专题：几何图形问题；压轴题.分析：过E作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q , △ EPM ◎△ EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解.解答：解：过E作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q,•••四边形ABCD是正方形，•••/ BCD=90 °又•••/ EPM= / EQN=90 ° • / PEQ=90 ° • / PEM+ / MEQ=90 °•••三角形FEG 是直角三角形，• / NEF= / NEQ+ / MEQ=90 ° • / PEM= / NEQ ,••• AC是/BCD的角平分线，/ EPC= / EQC=90 ° , • EP=EQ ,四边形PCQE是正方形，r ZPEM=ZNEQ在厶EPM 和厶EQN 中，EP=EQ EPM ◎△ EQN (ASA ) • S A EQN=S A EPM ,{ZEPI=Z EQN•四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积•••正方形ABCD 的边长为a, • AC= :■:a , •/ EC=2AE , • EC=' ' a ,3• EP=PC=^a，•正方形PCQE的面积'a；a」a2，•四边形EMCN的面积县a2,故选：D .3 3 3 9 9点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△ EPM EQN .2. 如图/ A= / ABC= / C=45 °°E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF丄BD ,②EF^BD ,③ / ADC= / BEF+ / BFE ,④AD=DC ,其中正确的是（）A .①②③④B .①②③C.①②④ D .②③④考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质.专题：压轴题.分析：根据三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解.AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q,延长CD交AB于P.解答：解：如下图所示：连接•/ / ABC= / C=45 ° • CP丄AB •/ Z ABC= / A=45 AQ 丄BC点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM丄AC .由中位线定理可得EF// AC , EF==AC • BD丄EF，故① 正确.2•/ Z DBQ+ Z DCA=45 °, Z DCA+ Z CAQ=45 °• Z DBQ= Z CAQ , •/ Z A= Z ABC , • AQ=BQ ,••• Z BQD= Z AQC=90 °, •••根据以上条件得A AQC ◎△ BQD , • BD=AC • EF」AC ,故② 正确.•/ Z A= Z ABC= Z C=45 Z DAC+ Z DCA=180 °-( Z A+ Z ABC+ Z C) =45 °• Z ADC=180 ° -( Z DAC+ Z DCA ) =135°Z BEF+ Z BFE=180。

-Z ABC 故③Z ADC= Z BEF+ Z BFE成立；无法证明AD=CD，故④错误.故选B.点评：本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用.3. 四边形ABCD中，AC和BD交于点E,若AC平分/ DAB，且AB=AE , AC=AD，有以下四个命题：①AC丄BD ;②BC=DE ;③/ DBC=2/ DAB ;④AB=BE=AE .其中命题一定成立的是（）2A .①②B .②③C.①③ D .②④考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.专题：压轴题.分析：根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各选项是否正确即可.解答：解：T AB=AE，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，••• AC不垂直于BD，① 错误；利用边角边定理可证得△ ADE ABC，那么BC=DE ,② 正确；由厶ADE ◎△ ABC 可得/ ADE= / ACB ,那么 A , B , C, D 四点共圆，• / DBC= / DAC=」/ DAB ,③ 正确；△ ABE不一定是等边三角形，那么④ 不一定正确；②③ 正确，故选B .点评：此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边三角形的三边相等.二.填空题（共6小题）4•如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，••如此继续下去，结果如下表，则a n= 3n+1 （用含n的代数式表示）.考点：等边三角形的性质.所剪次数1234- n正三角形个数 4 7 10 13 …a n专题：压轴题；规律型.分析：根据图跟表我们可以看出n代表所剪次数，a n代表小正三角形的个数，也可以根据图形找出规律加以求解.解答：解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数3n+1.故答案为：3n+1.点评：此题主要考验学生的逻辑思维能力以及应变能力.5. 如图，在△ ABC中，AC=BC >AB，点P ABC所在平面内一点，且点P与厶ABC的任意两个顶点构成△PAB , △ PBC, △ PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为6个.考点：等腰三角形的判定与性质.专题：压轴题.分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB的垂直平分线，首先△ ABC的外心满足，再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，AB的垂直平分线相交于两点，分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点，再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与O C相交于两点，即可得解.解答：解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ ABC的外心P1为满足条件的一个点，②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点P的个数为6.故答案为：6.点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观.6. 如图，△ ABC 是边长为1的等边三角形，取 BC 的中点E ,作ED // AB , EF // AC ,得到四边形 EDAF , 它的面积记为 S i ,取BE 的中点E 1,作E 1D 1 / FB , E 1F 1 / EF .得到四边形 E 1D 1FF 1，它的面积记作 S 2,压轴题；规律型.求出△ ABC 的面积是 [求出DE 是三角形ABC 的中位线，根据相似三角形的性质得出同理 S2»^ BE F ~ x x ；, S3^ X x x ,S4J —X ：…， 本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是总结出规律， 目比较好，但是有一定的难度.7. 如图，在正方形 ABCD 中，点E, F 分别在边 BC , CD 上，如果AE=4 , EF=3 , AF=5 ,那么正方形 ABCDn在 Rt △ ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2「. x 2+a 2=42② 将① 代入②，可得：a= _照此规律，则 考点： 专等边三角形的性质；三角形中位线定理. 二」、，求出S "「$△BEF - x 1::，求出 同理k 亠 BEFJ 了「，S3.悝刊丄 J'] 即可得出答案.,推出 S 2012=l2 4 4(2011个己,解答：解：•/ BC 的中点 E , ED // AB , • E 为 BC 中点，• DE=_AB ,2•/ DE // AB , CDE s △ CAB , ••/ △ ABC 的面积是S A CDEJ x —4 4推理^AEEF _ 1 £AEAC• $△ BEF > x 1 S 1=[ — x 「 S 2012=—XXX —XX —2 4 4点评: 的面积等于 考点： 专解答:—TF —■勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定与性质. 压轴题. 根据△ ABE ECF ，可将AB 与BE 之间的关系式表示出来，在Rt △ ABE 中，根据勾股定理2 2 2AB 2+BE 2=AC 2，可将正方形 ABCD 的边长AB 求出，进而可将正方形 ABCD 的面积求出. 解：设正方形的边长为 X ,BE 的长为 •/ Z AEB+ Z BAE= Z AEB+ Z CEF=90 •••迥唾即CE EF ，1K4 K _ a3x=4a ①a••• / BAE= / CEF •/ Z B= / C 二△ ABE s △ECFS 2012=2J.，故答案4（2011 仁）,V324025•••正方形ABCD 的面积为：x 2=16a 2」」.17点评：本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题.隐含了整体的数学思想和正确运算的能力. 注意后面可以直接这样 x 2+a 2=42②,• x ?+（二）2=42, x 2 X 2=42, — X 2=16,4 16 16X 2=—•无需算出算出x .&已知a , b , c 是直角三角形的三条边，且a vb vc ,斜边上的高为 h ,则下列说法中正确的是②.（只填序号）①a 2b 2+h 4= （a 2+b 2+1） h 2；②b 4+c 2h 2=b 2c 2；③由_.可以构成三角形；④直角三角形的根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简，等式成立者即为正确答案.卜寺h ,解得唱.①将 h=—代入 a 2b 2+h 4= (a 2+b 2+1) h 2,得 a 2『+ (b 2（b 2+a 2- C 2） =0, •/ b 2+a 2- c 2=0, • b 2（ b 2+a 2-c 2） =0 成立，故本选项正确；③■/ b 2+a 2=c 2,（1）2+ （卜用）2=a+b ,（孑」）2=c , •不能说明（一 p ） 2+ （Y 卜）2=（；：：；」）2,故本选项错误；④ 直角三角形的面积为 -ab ,随ab 的变化而变化，所以无最大值，故本选项错误.故答案为 此题不仅考查了勾股定理，还考查了面积法求直角三角形的高，等式变形计算较复杂，要仔细.9. 如图，A 、B 、C 分别是线段 A I B , B 1C , C 1A 的中点，若△ ABC 的面积是1,那么△ A 1B 1C 1的面积7 .考点： 三角形的面积.专题：压轴题. 分析： 连接AB 1 , BC 1, CA 1,根据等底等高的三角形的面积相等求出△ ABB 1, △ A 1AB 1的面积，从而求出厶A 1BB 1的面积，同理可求 △ B 1CC 1的面积，△ A 1AC 1的面积，然后相加即可得解.解答： 解：如图，连接 AB 1, BC 1, CA 1,T A 、B 分别是线段 A 1B , B 1C 的中点，• S AABB 1 =S ^ ABC =1 , S A A1AB1 =S ^ ABB 1 =1 ,•- S A A1BB1 =S A A1AB1 +S A ABB 1 =1+1=2，同理：S A B 1CC1=2 , S A A1AC1 =2,• △ A 1B 1C 1 的面积=S A A1BB1 +S A B1CC1+S A A1AC1+S △ ABC =2+2+2+1=7 .故答案为：7.点评： 本题考查了三角形的面积， 主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键. 三.解答题（共5小题）10. 已知△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线BC 上的一动点（点 D 不与B 、C 重合），以AD 为边作菱形 ADEF（A 、D 、E 、F 按逆时针排列），使/ DAF=60 °连接CF .面积的最大值是--------------- .2考点：勾股定理的逆定理；勾股定理. 专题：计算题；压轴题. 分析：解答：厂=（a 2+b 2+i ）（―）c(丄)2,得 a 2b 2+ (_)c得 a 2b 2+ 一）4= （c 2+1）a 2b 2=c 2，不一定成立，故本选项错误； ②将 h=—弋入 b 4+c 2h 2=b 2c 2，得 b 4+c 2 （2 24 Z 2=a b +亍，即(一) C| cCat 、2 22 I 42 22 2 审仗工申z 曰2)?4_.7 卜 =厂,Cb 4+b 2a 2- b 2c 2=0,解：根据直角三角形的面积的不同算法，有点评:(1)如图1,当点D在边BC上时，求证：①BD=CF ;②AC=CF+CD ;(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：(1)根据已知得出AF=AD , AB=BC=AC , / BAC= / DAF=60 ° 求出 / BAD=CAF，证△ BAD ◎△ CAF，推出CF=BD 即可；(2)求出 / BAD= / CAF，根据SAS 证厶BAD CAF，推出BD=CF 即可；(3)画出图形后，根据SAS证厶BAD CAF，推出CF=BD即可. 解答：(1)证明：•••菱形AFED , ••• AF=AD , •/△ ABC 是等边三角形，/• AB=AC=BC , / BAC=60 ° = Z DAF , ••• / BAC - / DAC= / DAF - / DAC，即 / BAD= / CAF ,•••在△ BAD 和厶CAF 中｛二三CAT , BAD △ CAF , • CF=BD ,•CF+CD=BD+CD=BC=AC ，即① BD=CF ,② AC=CF+CD .(2)解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF - CD ,理由是：由(1)知：AB=AC=BC , AD=AF , / BAC= / DAF=60 ° • Z BAC+ / DAC= / DAF+ / DAC , 即Z BAD= Z CAF ,•••在△ BAD 和厶CAF 中奁BAD △ CAF , • BD=CF ,嗣二应•CF - CD=BD - CD=BC=AC ,即AC=CF - CD .(3)AC=CD - CF .理由是：r AB=AC•/ Z BAC= Z DAF=60 ° • Z DAB= Z CAF , ：•在△ BAD 和厶CAF 中ZD阳二ZF此C ,AD=APt•△ BAD ◎△ CAF ( SAS) , • CF=BD , • CD - CF=CD - BD=BC=AC ,即AC=CD - CF .点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中.11. 如图，△ ABC中AB=AC , BC=6, s i n Z吕二丰,点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D .(1)如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；(2)如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E,当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题；分类讨论.分析：(1)过点P做PF平行与AQ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB=AC , 根据等边对等角得角B和角ACB的相等，根据等量代换的角B和角PFB的相等，根据等角对等边得BP=PF,又因点P和点Q同时出发，且速度相同即BP=CQ，等量代换得PF=CQ,在加上对等角的相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD=^CF，而又因P是AB 的中点，PF// AQ得出F是BC的中点，进而根据已知的BC的长，求出CF,即可得出CD的长.(2)分两种情况讨论，第一种情况点 P 在线段AB 上，根据等腰三角形的三线合一得 BE=EF ，再又第一问的全等可知 DF =CD ，所以ED=EF+FD=BE+m°BC^3，得出线段DE 的长为定值；第二 种情况，P 在BA 的延长线上，作 PM 平行于AC 交BC 的延长线于M ,根据两直线平行，同位角 相等推出角PMB 等于角ACB ，而角ACB 等于角ABC ，根据等量代换得到角 ABC 等于角PMB ， 根据等角对等边得到 PM 等于PB,根据三线合一，得到BE 等于EM ，同理可得△ PMD 全等于△ QCD ， 得到CD 等于DM ，根据DE 等于EM 减DM ，把EM 换为BC 加CM 的一半，化简后得值为定值. 解：(1)如图，过P 点作PF // AC 交BC 于F ,•••点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同，••• BP=CQ , •/ PF / AQ , ••• / PFB= / ACB , / DPF= / CQD , 又••• AB=AC , • / B= / ACB , • / B= / PFB , • BP=PF , • PF=CQ ，又/PDF= / QDC ,•证得△ PFD ◎△ QCD , • DF=CD=*CF ,又因P 是AB 的中点，PF / AQ , • F 是BC 的中点，即 FC 」BC=3 , • CD==CF4 ; 2 1 [2(2)分两种情况讨论，得 ED 为定值，是不变的线段如图，如果点 P 在线段AB 上，过点P 作PF / AC 交BC 于F ,••• △ PBF 为等腰三角形，• PB=PF , BE=EF , • PF=CQ , • FD=DC , • ED=E^+FXBE 十DC 二二3， • ED 为定值，同理，如图，若 P 在BA 的延长线上，作 PM // AC 的延长线于 M , • / PMC= / ACB , 又•/ AB=AC , • / B= / ACB , • / B= / PMC , • PM=PB ，根据三线合一得 BE=EM , 同理可得 △ PMD QCD ，所以CD=DM , BE=EH CD 二珈综上所述，线段 ED 的长度保持不变. 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综 合题.12. 如图1,在厶ABC 中，/ ACB 为锐角，点 D 为射线BC 上一点，连接 AD ，以AD 为一边且在 AD 的 右侧作正方形ADEF .(1) 如果 AB=AC , / BAC=90 ° °① 当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合)，如图2，线段CF 、BD 所在直线的位置关系为 」直，线段CF 、BD 的数量关系为相等 ；② 当点D 在线段BC 的延长线上时，如图 3,①中的结论是否仍然成立，并说明理由；(2) 如果AB 朋C , / BAC 是锐角，点 D 在线段BC 上，当/ ACB 满足什么条件时， CF 丄BC (点C 、 F 不重合)，并说明理由.考点：全等三角形的判定与性质. 专题：压轴题；开放型.分析：(1)当点D 在BC 的延长线上时 ① 的结论仍成立.由正方形ADEF 的性质可推出 △ DAB FAC , 所以CF=BD , / ACF= / ABD .结合 / BAC=90 °, AB=AC ，得到 / BCF= / ACB+ / ACF=90 °,即 CF 丄 BD . (2)当/ ACB=45时，过点 A 作AG 丄AC 交CB 的延长线于点 G ,贝U / GAC=90 °可推出 / ACB= / AGC ，所以 AC=AG ，由(1)①可知 CF 丄 BD .解答：证明：(1)① 正方形ADEF 中，AD=AF ,•/ / BAC= / DAF=90 ° • / BAD= / CAF ，又•/ AB=AC , • △ DAB 也△ FAC , • CF=BD , / B= / ACF , • / ACB+ / ACF=90。