21F DECAB1、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，四边形ABCD 中，BC AD //，点E 在CB 的延长线上，联结DE ，交AB 于点F ，联结DB ，AFD DBE ∠=∠，且2DE BE CE =⋅.(1) 求证：DBE CDE ∠=∠；（2）当BD 平分ABC ∠时，求证：四边形ABCD 是菱形. 答案：（1）证明：∵CE BE DE ⋅=2，∴DEBECE DE =． …………………………………………（2分） ∵E E ∠=∠， …………………………………………（1分）∴DBE ∆∽CDE ∆．……………………………………… （1分） ∴CDE DBE ∠=∠． ……………………………………………（1分）（2） ∵CDE DBE ∠=∠，又∵AFD DBE ∠=∠，∴=∠CDE AFD ∠．………………………………………………（1分） ∴DC AB //． ………………………………………………（1分） 又∵BC AD //，∴四边形ABCD 是平行四边形 ………………………………………（1分） ∵BC AD //，∴1∠=∠ADB ． ……………………………………………（1分） ∵DB 平分ABC ∠，∴21∠=∠． …………………………………………（1分） ∴2∠=∠ADB ．∴AD AB =． ……………………………………………（1分）∴四边形ABCD 是菱形． ……………………………………………………（1分）2、（2010•山东省泰安市）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，且满足AD=AB ，∠ADE=∠C（1）求证：∠AED=∠ADC ，∠DEC=∠B ； （2）求证：AB 2=AE·AC 2．（本小题满分8分）证明：（1）在△ADE 和△ACD 中∵∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴∠AED=180°—∠DAE —∠ADE ∠ADC=180°—∠ADE —∠C ∴∠AED=∠ADC（2分）∵∠AED+∠DEC=180° ∠ADB+∠ADC=180° ∴∠DEC=∠ADB 又∵AB=AD ∴∠ADB=∠B ∴∠DEC=∠B（4分）（2）在△ADE 和△ACD 中由（1）知∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴△ADE ∽△ACD（5分）∴ADACAE AD即AD 2=AE·AC（7分）又AB=AD ∴AB 2=AE·AC （8分）3.（2009泰安）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，C D ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F 。

（1） 求证：FD 2=F B ·FC 。

（2） 若G 是BC 的中点，连接GD ，GD 与EF 垂直吗？并说明理由。

【答案】证明：（1）∵E 是R t △ACD 斜边中点 ∴DE=EA ∴∠A=∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠A …∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ∴∠FDC=∠FBD ∵F 是公共角 ∴△FB D ∽△FDC ∴FCFDFD FB =∴FC FB FD •=2 （2）GD ⊥EF理由如下：∵DG 是R t △CDB 斜边上的中线， ∴DG=GC ∴∠3=∠4由（1）得∠4=∠1 ∴∠3=∠1∵∠3+∠5=90° ∴∠5+∠1=90°∴DG ⊥EF 4、（2010 广东珠海）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD 在Rt △ADE 中，DE=63)33(2222=+=+AE AD∵△ADF ∽△DEC ∴CDAFDE AD =∴4633AF = AF=325、（2010广东肇庆）如图5，∠ACB=90°， AC=BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与AB 交于F.（1） 求证：△CEB ≌△ADC;（2） 若AD=9cm ，DE ＝6cm ，求BE 和EF 的长.【答案】解：（1）因为∠ACB=90°，所以∠BCE+∠ECA=90°. 因为AD ⊥CE 于D ，所以∠CAD+∠ECA=90°. 所以∠BCE=∠CAD.因为BE ⊥CE 于E ，所以∠BEC=∠CDA=90°. 又因为AC=BC ，所以△CEB ≌△ADC （AAS ）. （3） 因为△CEB ≌△ADC ，所以CE=AD=9cm ，CD=BE.因为DE ＝6cm ，所以CD=CE-DE=3cm.所以BE=3cm.因为∠BEF=∠ADF=90°，∠EFB=∠DFA,所以△EFB ∽△DFA.所以BE EF =AD FD .设EF=x cm ，所以DF=(6-x)cm,所以3=96-x x ,所以x =32cm.6、.(2009年潍坊)已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD交AC 于点E ．（1）求AEAC的值； （2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．解：（1）过点F 作FM AC ∥，交BC 于点M ． F Q 为AB 的中点M ∴为BC 的中点，12FM AC =． 由FM AC ∥，得CED MFD ∠=∠， ECD FMD FMD ECD ∠=∠∴，△∽△ 23DC EC DM FM ∴==22113323EC FM AC AC ∴==⨯= 1233AC ACAE AC EC AC AC AC --∴=== （2）1122AB a FB AB a =∴==Q ，又12FB EC EC a =∴=，13332EC AC AC EC a =∴==Q ，．7、（2011•东莞市）21．如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC ，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G ，H 点，如图(2) （1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ；（2）设CG=x ，BH=y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形. 【答案】解：（1）△HAB ，△HGA 。

（2）∵△AGC ∽△HAB ，∴AC GCHB AB=，即9=9x y 。

∴81=y x。

又∵BC=229992092<x <+=∴ ，。

∴y 关于x 的函数关系式为()81=092y <x <x。

（3）①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图1， 可知9222BC x CG ===。

②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2，在△HGA 和△AGC 中题21图(1)BHFA （D ）GCEC （E ）BFA （D ）题21图(2)∵∠AGH=∠CGA ，∠GAH=∠C=450， ∴△HGA ∽△AGC 。

∵AG=AH ，∴9x CG AC ===∴当x =9x =时，△AGH 是等腰三角形。

8、(2009武汉)如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ． （1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求OFOE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OFOE的值．【关键词】相似三角形的判定和性质【答案】解：（1）AD BC Q ⊥，90DAC C ∴∠+∠=°． 90BAC BAF C ∠=∴∠=∠Q °，． 90OE OB BOA COE ∴∠+∠=Q ⊥，°，90BOA ABF ∠+∠=Q °，ABF COE ∴∠=∠． ABF COE ∴△∽△；（2）解法一：作OG AC ⊥，交AD 的延长线于G ． 2AC AB =Q ，O 是AC 边的中点，AB OC OA ∴==． 由（1）有ABF COE △∽△，ABF COE ∴△≌△， BF OE ∴=．90BAD DAC ∠+∠=Q °，90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°，， 又90BAC AOG ∠=∠=°，AB OA =． ABC OAG ∴△≌△，2OG AC AB ∴==． OG OA Q ⊥，AB OG ∴∥，ABF GOF ∴△∽△，OF OG BF AB ∴=，2OF OF OGOE BF AB===．BBAACOE D DEC O F 图1图2F BADE C OF G解法二：902BAC AC AB AD BC ∠==Q °，，⊥于D ，Rt Rt BAD BCA ∴△∽△．2AD ACBD AB∴==． 设1AB =，则2AC BC BO ===，12AD BD AD ∴=== 90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴Q °，△∽△， BD BODF OE∴=． 由（1）知BF OE =，设OE BF x ==，5DF x ∴=，x ∴=． 在DFB △中2211510x x =+，3x ∴=．OF OB BF ∴=-==322OF OE ∴==．（3）OF n OE=．9、(2010•济宁市)数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N .当6CP =时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DEFC EP=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.BADE C OF (第22题)22．（1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，则DF DE FC EP =，EM EFEN EG=，12GF BC ==. ∵DE EP =，∴DF FC =. ····························································· 2分∴116322EF CP ==⨯=，12315EG GF EF =+=+=. ∴31155EM EF EN EG ===. ································································· 4分 （2）证明：作MH ∥BC 交AB 于点H ， ······················································ 5分则MH CB CD ==，90MHN ∠=︒. ∵1809090DCP ∠=︒-︒=︒， ∴DCP MHN ∠=∠.∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠，90DPC CDP ∠=︒-∠， ∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ∆≅∆. ········································· 7分 ∴DP MN =. ············································································ 8分10、（2010•湖北省咸宁）24．（本题满分12分）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90DAB ∠=︒，24AD DC ==，6AB =．动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与线段CD 的交点为E ，与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）．（1）当0.5t =时，求线段QM 的长；H BCDEMNA P（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQRQ 是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．24．解：（1）过点C 作CF AB ⊥于F ，则四边形AFCD 为矩形．∴4CF =，2AF =．此时，Rt △AQM ∽Rt △ACF ．……2分 ∴QM CFAM AF =． 即40.52QM =，∴1QM =．……3分 （2）∵DCA ∠为锐角，故有两种情况： ①当90CPQ ∠=︒时，点P 与点E 重合．此时DE CP CD +=，即2t t +=，∴1t =．……5分②当90PQC ∠=︒时，如备用图1，此时Rt △PEQ ∽Rt △QMA ，∴EQ MAPE QM=． 由（1）知，42EQ EM QM t =-=-，而()(2)22PE PC CE PC DC DE t t t =-=--=--=-， ∴421222t t -=-． ∴53t =． 综上所述，1t =或53．……8分（说明：未综述，不扣分）（3）CQ RQ为定值．……9分当t ＞2时，如备用图2，4(2)6PA DA DP t t =-=--=-．由（1）得，4BF AB AF =-=． ∴CF BF =． ∴45CBF ∠=︒． ∴6QM MB t ==-． ∴QM PA =．∴四边形AMQP 为矩形． ∴PQ ∥AB ．……11分 ∴△CRQ ∽△CAB ．∴CQ BC RQ AB ==……12分 A B C D （备用图1） A B C D （备用图2） Q A B C D l M P （第24题） E AB CD （备用图1）QP E lM ABC D （备用图2）M QRF PQ ABCDl M P （第24题）E F11、五、石景山24题：在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.【参考答案】24.解：（1）DC DB 2= (2) DC DB 2=证明：过点C 作CF ∥BE 交AD 的延长线于点F , 在 AD 上取点G 使得CF CG = ∴76∠=∠=∠F∵︒=∠=∠=∠602BAC CED BED ∴︒=∠=∠606F ,︒=∠30CED ∴41205∠=︒=∠∵︒=∠+∠=∠=∠+∠6021713 ∴23∠=∠ ∵AC AB = ∴△ABE ≌△CAG ∴AG BE AE CG ==, ∵︒=∠-∠=∠306CED GCE ∴EG CG =∴BE AG CG CF 2121=== 由△DBE ∽△DCF 得2==FCBEDC BD∴DC DB 2= (3) 结论：DC DB 2=.25．（11·漳州）（满分13分）如图，直线y ＝－2x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△OAB 绕点O 逆时针方向旋转90°后得到△OCD ． （1）填空：点C 的坐标是(_ ，_ )，点D 的坐标是(_ ，_ )；（2）设直线CD 与AB 交于点M ，求线段BM 的长；A B C D E AEB C D 图1 图2 7654321AEBCG FD 图(1)F图(2)（3）在y 轴上是否存在点P ，使得△BMP 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）点C 的坐标是(0，1)，点D 的坐标是(－2，0) ………………4分（2）方法一：由（1）可知CD ＝OC 2＋OD 2 ＝5，BC ＝1又∠1＝∠5，∠4＝∠3 ∴△BMC∽△DOC ………………6分 ∴BM DO ＝BC DC 即BM 2＝15 ∴BM＝255 ………………8分方法二：设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b由（1）得⎩⎨⎧b ＝1－2k ＋b ＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12∴直线CD 的解析式为y ＝12 x ＋1又∠1＝∠5，∠BCM ＝∠DCO ∴△BMC∽△DOC ………………6分 ∴BM DO ＝BC DC 即BM 2＝15 ∴BM＝255 ………………8分∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝12x ＋1 ∴⎩⎨⎧x ＝25y ＝65∴M的坐标为(25，65) ………………6分 过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，则ME ＝25，BE ＝45∴BM ＝ME 2＋BE 2 ＝255 ………………8分（3）存在 ………………9分分两种情况讨论： ① 以BM 为腰时∵BM ＝255，又点P 在y 轴上，且BP ＝BM此时满足条件的点P 有两个，它们是P 1 (0，2＋255)、P 2 (0，2－255) ……………11分过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，∵∠BMC ＝90°， 则△BME ∽△BCM ∴BE BM ＝BMBC ∴BE ＝BM 2BC ＝45又∵BM ＝BP ∴PE ＝BE ＝45∴BP ＝85∴OP ＝2－85＝25此时满足条件的点P 有一个，它是P 3 (0，25) ……………12分 ② 以BM 为底时，作BM 的垂直平分线，分别交y 轴、BM 于点P 、F ， 由（2）得∠BMC ＝90°， ∴PF ∥CM∵F 是BM 的中点， ∴BP ＝12BC ＝12∴OP ＝32此时满足条件的点P 有一个，它是P 4 (0，32)综上所述，符合条件的点P 有四个，它们是：P 1 (0，2＋255)、P 2 (0，2－255)、P 3 (0，25)、P 4 (0，32) ……………13分13.(2010•福建省莆田市)如图1，在Rt ABC △中，9068ACB AC BC ∠===°，，，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB ∠交边BC 于点E ，CM BD ⊥垂足为M EN CD ⊥，，垂足为N.（1）当AD=CD 时，求证：DE AC ∥；（2）探究：AD 为何值时，BME △与CNE △相似？（3）探究：AD 为何值时，四边形MEND 与BDE △的面积相等？ 24．（本小题满分12分） （1）证明：AD CD DAC DCA =∴∠=∠Q 2BDC DAC ∴∠=∠ ·························· 1分 又∵DE 是∠BDC 的平分线 ∴∠BDC=2∠BDE ∴∠DAC =∠BDE ································ 2分 ∴DE ∥AC ········································· 3分（2）解：（Ⅰ）当BME CNE △∽△时，得MBE NCE ∠=∠ ∴BD=DC∵DE 平分∠BDC ∴DE ⊥BC ，BE=EC.又∠ACB =90° ∴DE ∥AC . ··································································· 4分 ∴BE BD BC AB =即2211522BD AB AC BC ==+=∴AD =5 ···························································································· 5分 （Ⅱ）当BME ENC △∽△时，得EBM CEN ∠=∠ ∴EN ∥BD又∵EN ⊥CD∴BD ⊥CD 即CD 是△ABC 斜边上的高 ··················································· 6分第24题第24题由三角形面积公式得AB ·CD=AC ·BC ∴CD=245∴22185AD AC CD =-=································································· 7分 综上，当AD =5或185时，△BME 与△CNE 相似. （3）由角平分线性质易得12MDE DEN S S DM ME ==△△·BDE MEND S S =Q △四边形12BD EM DM EM ∴=·· 即12DM BD = ··········································· 8分 ∴EM 是BD 的垂直平分线. ∴∠EDB=∠DBE∵∠EDB =∠CDE ∴∠DBE =∠CDE 又∵∠DCE =∠BCD∴CDE CBD △∽△ ·················· 9分CD CE DEBC CD BD ∴==① ·········· 10分 2CD BE BEBC BD BM ∴==即4BECD BM=45cos 4554BM B CD BE ==∴=⨯=Q ················································· 11分 由①式得2258CD CE BC == 3943939cos 85810BE BM BE B ∴=∴==⨯=39112102105AD AB BM ∴=-=-⨯= ················································· 12分14、（2012莆田市质检）24．（本小题满分12分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°, AC=8, BC=6，点D 是射线CA 上的一个动点（不与A 、C 重合）, DE ⊥直线AB 于E 点，F 是BD 的中点，过点F 作FH ⊥直线AB 于点H ，连接EF ，设AD ＝x.(1)①（3分）若点D 在AC 边上，求FH 的长（用含x 的式子表示）; ②（4分）若点D 在射线CA 上，△BEF 的面积为S ，求s 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．(2) ( 5分）若点D 在AC 边上，点P 是AB 边上的一个动点，DP 与EF 相交于O 点，当DP + FP 的值最小时，猜想DO 与PO 之间的数量关系，并加以证明．24.解：（1）①第24题图 2H F E C BA 图 1H E FD C A OFDC ∵090=∠ACB ，8=AC ，6=BC ∴10682222=+=+=BC AC AB ┅1分 方法一： 53106sin ===AB BC A ∵090=∠AED ∴x A AD DE 53sin =⋅=┅2分 ∵090=∠DEB ,F 是BD 的中点∴BF EF = ∵⊥FH AB ∴BH EH =∴x DE FH 10321==┅3分方法二：∵090AED ACB ∠=∠=，A A ∠=∠ ∴ADE ∆∽ABC ∆ ∴ABADBC DE =∴106x DE = ∴x DE 53= ┅2分 ∵090=∠DEB ,F 是BD 的中点 ∴BF EF =∵⊥FH AB ∴BH EH = ∴x DE FH 10321==┅3分 ②∵ADE ∆∽ABC ∆ ∴AB AD AC AE = ∴x AE 54=┅4分 有两种情况：（Ⅰ）当点D 在AC 边上时，如图1：∵x BE 5410-= ∴x x FH BE S 103)5410(2121⋅-=⋅=┅5分∴x x S 232532+-= ， （80<<x ）┅6分（Ⅱ）当点D 在CA 延长线上时，如图2：同理得：x DE FH 10321==，∵x BE 5410+=∴x x FH BE S 103)5410(2121⋅+=⋅=∴x x S 232532+= ， （0>x ）┅7分（2）猜想：PO DO 3=┅8分证明：作点F 关于AB 的对称点'F ,连接'FF 则'FF AB ⊥于H ，连接'DF 交EF 于O ，交AB 于P ，此时FP DP +的值最小时.连接‘EF. ∵DE FH 21=，H F FH '=图 4PF'OH FEDCBAP O图 5F 'M H FE DC BA∴DE FF =' 又∵'FF ∥DE∴四边形F DEF '是平行四边形┅9分 方法一：如图3，在DPE ∆与PH F '∆中 ∵0'90=∠=∠HP F DEP 'DPE F PH ∠=∠ ∴DPE ∆∽PH F '∆ ┅10分 ∴2''==HF DE PF DP ∴'2PF DP =┅11分 ∴)(2PO DO PO DO -=+ 化简得：PO DO 3=┅12分 方法二：连接OH 如图4： ∵OE OF =，H F FH '=∴OH ∥,EF 且OH =21,EF ┅10分∴OPH ∆∽PE F '∆ ∴21,,==EFOH PF OP ┅11分 ∴'3DO OF PO ==┅12分 方法三：取PB 的中点M ，连接FM 如图5：∵'FH F H =，12FH DE =∴'FF DE = 又∵'FF ∥DE ∴四边形F DEF '是平行四边形∴OE OF = ┅10分 ∵DF BF =，PM BM =∴FM ∥DP ，∴12OP FM =，12FM DP =┅11分∴4DP PO = ∴PO DO 3=┅12分15、(2012•福建省莆田市)24．(本小题满分12分)(1)(3分)如图①，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于点D ．求证：AB 2＝AD ·AC ；(2)(4分)如图②，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 为BC 边上的点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ．1AB BD BC DC ==，求AFFC的值； (3)(5分) 在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 为直线BC 上的动点(点D 不与B 、C 重合)，直线BE ⊥ＡD 于点E ，交直线AC 于点F 。