2020年高考数学5月份预测考试试题理本试题卷共4页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|y＝2x-}，则A∪B＝A.{x|1<x≤2}B.{x|2<x<3}C.{x|2≤x<3}D.{x|x>1}2.右图来自中国古代的木纹饰图。

若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是A.136B.19C.16D.293.设有下面两个命题：p1：复数x∈R的充要条件是z＝z；p2：若复数z所对应的点在第一象限，则复数zi所对应的点在第四象限。

那么下列命题中，真命题是A.p1∧p2B.(⌝p1)∧p2C.p1∧(⌝p2)D.(⌝p1)∧(⌝p2)4.已知数列{a n }为等差数列，若a 2＋a 5＝3a 3，且a 4与2a 7的等差中项为6，则a 5＝A.0B.1C.2D.35.已知定义在R 上的函数f(x)＝3sinx －2x ＋1，则f(x)的最大值与最小值之和等于A.0B.1C.2D.36.(1－x)·(x ＋1x ＋2)4的展开式中x 的系数是 A.10 B.2 C.－14 D.347.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，记该几何体的外接球的体积为V 1，该几何体的体积为V 2，则V 1与V 2的比值为A.94πB.98πC.109πD.329π 8.如图所示的程序框图是为了求出满足1＋3＋5＋…＋n ≤2020的最大正奇数n 的值，那么在框中，可以填A.“输出i －4”B.“输出i －2”C.“输出i －1”D.“输出i ”9.已知函数f(x)3－cos2x 在区间[0，2π]上当x ＝θ时取得最大值，将f(x)的图象向左平移θ个单位得到函数g(x)的图象，则A.g(x)＝2cos2xB.g(x)＝－2cos2xC.g(x)＝3sin2x ＋cos2xD.g(x)＝－3sin2x －cos2x10.已知双曲线于22143x y -=的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，则△AF 2B 的内切圆半径为A.433B.233C.23D.2 11.数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1，如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1。

对任意正整数a 0，记按照上述规则实施第n 次运算的结果为a n (n ∈N *)，则使a 7＝1的a 0所有可能取值的个数为A.3B.4C.5D.612.已知实数a 、b 满足log 2a ＝log 3b ，给出五个关系式：①a b <b a ；②a b ＝b a ；③a b >b a ；④a b <a a ；⑤b b <b a 。

其中不可能成立的关系式有A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示，A ，B 是圆O 上的两点，若AB AO ⋅u u u r u u u r ＝2，则弦AB 长为 。

14.已知实数x 、y 满足2122x x y y x ≤+≥≤-⎧⎪⎨⎪⎩，则z ＝x ＋2y 的最小值为 。

15.已知抛物线x 2＝y 的焦点为F ，过F 作两条夹角为30°的直线m ，n ，直线m 与抛物线交于点P ，Q ，直线n 与抛物线交于点M ，N ，则11PQ MN+的最小值为 。

16.在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，PA ＝PD ，∠APD ＝90°，平面PAD ⊥平面ABCD ，Q 点是△PBC 内的一个动点(含边界)，且满足DQ ⊥AC ，则Q 点所形成的轨迹长度是 。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，满足asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b 且a>b 。

(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，BC 边上的中线AM 的长为12a ，求△ABC 的面积。

18.(12分)在四棱锥P －ABCD 中，BC ＝BD ＝DC ＝23，AD ＝AB ＝PD ＝PB ＝2，PA ＝2。

(1)求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角C －PD －B 的余弦值。

19.(12分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>3，点(22)在椭圆C 上。

(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P(0，－2)任作椭圆C 的两条相互垂直的弦AB ，CD ，设M ，N 分别是AB ，CD 的中点。

则直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由。

20.(12分)近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患。

目前，国际上常用身体质量指数(Body Mass Index ，缩写为BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI ＝22()()kg m 体重单位：身高单位：。

中国成人的BMI 数值标准为：BMI ≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI ≤23.9为正常；24≤BMI ≤27.9为偏胖；BMI ≥28为肥胖。

为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工(编号1～8)的身高x(cm)和体重y(kg)数据，并计算得到他们的BMI 值(精确到0.1)如下表：(I)现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI 值为“正常”员工的人数为X ，求X 的分布列及数学期望。

(II)某调查机构分析发现公司员工的身高x(cm)和体重y(kg)之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为$$05y x a=+.，且根据回归方程预估一名身高为180cm 的员工体重为71kg ，计算得到的其他数据如下：x ＝170，8188920ii i x y ==∑。

(1)求$a的值及表格中8名员工体重的平均值y ； (2)在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg ，身高数据无误。

请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm 的员工的体重。

(附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线$$y bxa =+$的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1221 ˆˆˆ,n i ii n i i x y nx y b ay bx xnx ==-==--∑∑。

21.(12分)已知函数f(x)＝12x 2＋ax ，g(x)＝(a ＋1)lnx(a<0)。

(1)若点P(x 0，y 0)为函数f(x)与g(x)图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P 为切点的公共切线，求a 的值；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求实数a 的取值范围。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数，m ∈R)。

以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，，曲线C 2的极坐标方程为22332cos ρθ=- (0≤θ≤π)。

(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知m<，点P 是曲线C 2上一点，点P 到曲线C 1的最大距离为，求m 的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|ax ＋1|。

(1)当a ＝1时，求不等式f(x)＋|2x －1|>3的解集；(2)设g(x)＝1＋|x|，若关于x 的不等式f(x)≤g(x)的解集为R ，求实数a 的取值范围。