即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),(0,1)
D
为顶点的三角形.
解 因 e y2dy 无法用初等函数表示,
所以, 积分时必须考虑次序.
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
0
D
e1 y2
y3 dy
1
1 y2e y2dy2 1 1 2
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
D
3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (利用积分区域的可加性)
y
D3
D1 D2
O
x
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
0
3
60
6 e
例3 交换积分次序:
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
(
x,
y)dx)dy
D
即
f y)dx.
D
c
1( y)
2. 积分区域为: a x b, 1( x) y 2( x). 其中函数1( x)、2( x)在区间 [a,b]上连续.
y y 2(x) D
y
y 2(x)
D
y 1(x)
y 1(x)
1. 极点在区域D 的外面 D : , 1( ) r 2( ).
r 1( )
r 2( )
D
r 1( )
D
θ
O
θ
x
O
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr
1 ( )
r 2( )
x
2. 极点在区域D 的边界上 (曲边扇形)
D
D: (y) x (y)
cyd
z
c
0
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
x=(y) x
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
z
z f (x, y)
y y
.
z=f (x,y)
Q( y ) =
ψ( y)
f ( x, y)dx
φ( y)
d
I = c Q( y)dy
而且又是能否进行计算的问题.
凡遇如下形式积分:
sin xdx, x
sinx2dx, cosx2dx, ex2dx,
y e x2dx, e xdx,
dx , 等,
ln x
一定要放在后面积分.
例5 求证
a
dx
x
f ( y)dy
a
(a x) f ( x)dx(a 0)
0
0
0
证 对于左边的累次积分, 先交换积分次序.
d 1 (r dr)2 d 1 r 2 d
2
2
r r dr
1 (2r dr)dr d
2
rr
d rdrd
D
极坐标系中的面积元素
O
二重积分在极坐标下的表达式为
d
d
A
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
在极坐标系下, 一般化成先对r再对 积分
c
0 Q( y)
x=(y) x
y
x=(y)
D
d
y
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
ψ( y)
Q( y ) = f ( x, y)dx φ( y)
I=
d
c Q( y)dy
d
ψ( y)
dy f ( x, y)dx
c
φ( y)
x
z
0 x=(y)
z=f (x,y)
10.2 二重积分的计算
二重积分的计算方法是: 将二重积分化为二次 积分(累次积分)来计算.
10.2.1 在直角坐标系下计算二重积分
现根椐二重积分的几何意义:
f (x, y)dxdy 的值等于以区域D为底, 曲面
D
z= f ( x, y )为顶的曲顶柱体的体积,考虑二重积分 的计算.
I f ( x, y)dxdy
积分区域: 0 x a, 0 y x
y
可表为: 0 y a, y x a
a
a dx
x
f ( y)dy
a
dy
a
f ( y)dx
0
0
0
y
a
0
f
(
a
y)dyy dx
a
O
(a y) f ( y)dy
0
a
0 (a x) f ( x)dx
•(a,a)
a
x
10.2.2 在极坐标系下计算二重积分
则
f
( x,
y)d
bd
a dxc
f
( x,
y)dy
D
db
c dya f ( x, y)dx
如D是上述矩形域, 且 f ( x, y) f1( x) f2( y)
则
bd
f1( x)
f2(
y)dxdy
(
a
c
f1( x) f2( y)dy )dx
D
b
d
a f1( x)dx c f2( y)dy
y
1
1 dy
y e x dx.
y
y
4
2
2
解 因 e x dx 不能用初等函数表示,
所以, 先交换积分次序. y
y
I
1
1 dx
x
e
x
dy
x2
1
1
2
2
y x y x2
1 1
x(e
e
x
)dx
2
1
4
O
1
1
x
2
3e1 e 82
计算二重积分时,恰当的选取积分次序
十分重要, 它不仅涉及到计算繁简问题,
D : , 0 r ( ).
r ( )
D
O
r ( )
D
xO
x
f (r cos , r sin )rdrd
D
( )
d 0 f (r cos , r sin )rdr
3. 极点在区域D 的内部
D : 0 2 , 0 r ( ).
r ( )
D
x y2 所围平面闭区域.
解 两曲线的交点
y
y
x2
•
x (1,1)
y2
(0,0),(1,1).
O
x
( x2 y)dxdy
D
1
dx
x( x2 y)dy
0
x2
01 x2 y
y2 2
x
dx
x2
1
[
x
2
(
0
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 2
33 140
特殊地, D为矩形域: a≤ x ≤b, c≤ y ≤d.
d
y
二重积分的计算有两种积分顺序
1. 积分区域为: c y d , 1( y) x 2( y)
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
y
y
d
d
x 1( y) D
x 2( y) x 1( y) D x 2( y)
c
c
O
x
O
x
f ( x, y)d
d(
c
2
(
y
)
f
1( y)